eng
Содержание
Предисловие..................................................................................................6
Введение. Проблемы анализа случайных процессов
в случайно-неоднородных средах...............................................................8
Литература к введению..............................................................................13
ГЛАВА 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ
И ОБЩИЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.........................15
1.1.
Общая классификация случайных функций...................................16
1.2.
Вероятностное описание и основные
характеристики процессов...............................................................26
1.3.
Свойства стационарности и однородности.....................................33
1.4.
Спектрально-корреляционные характеристики процессов...........40
1.5.
Свойства непрерывности и дифференцируемости
случайных функций..........................................................................46
Заключение................................................................................................52
ГЛАВА 2.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
С ДВОЙНОЙ СТОХАСТИЧНОСТЬЮ..................................................55
2.1.
Случайные последовательности Бернулли
и двойная стохастичность................................................................55
2.2.
Дважды стохастические процессы Пуассона ..................................65
2.3.
Гауссовские модели с двойной стохастичностью............................78
2.4.
Вероятностные модели на основе гамма-распределения...............85
2.5.
Модели на основе хи-квадрат распределения.................................92
2.6.
Общие свойства вероятностных моделей
со случайными параметрами..........................................................101
2.7.
Вероятностные модели в виде вероятностных смесей..................104
Заключение..............................................................................................114
ГЛАВА 3.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
СТОХАСТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ...................................................117
3.1.
Геометрические объекты, структуры, процессы и поля................118
3.2.
Структура случайных точечных полей...........................................121
4
Случайные данные. Модели, структура и анализ
3.3.
Случайные множества геометрических объектов......................... 142
3.4.
Особенности описания текстуры изображений ........................... 152
3.5.
Булевы модели случайных множеств............................................. 156
3.6.
Случайные размещения в условиях случайных сред..................... 165
3.7.
Стохастические структуры фрактальной геометрии..................... 178
Заключение.............................................................................................. 190
ГЛАВА 4.
СТРУКТУРА РИТМИЧЕСКИХ
И КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ..................................... 194
4.1.
Ритмические процессы в сложных
развивающихся системах................................................................ 195
4.2.
Квазигармонические процессы
и флуктуационные эффекты.......................................................... 207
4.3.
Случайные процессы типа «сигнал плюс шум»............................ 224
4.4.
Вероятностная структура многомодовых процессов.................... 230
4.5.
Фазовые траектории случайных процессов................................... 237
4.6.
Вероятностная структура случайных
векторных процессов...................................................................... 257
Заключение.............................................................................................. 276
ГЛАВА 5.
ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ..................................... 279
5.1.
Выбросы случайных последовательностей................................... 279
5.2.
Случайные последовательности в случайных средах................... 296
5.3.
Выбросы непрерывных случайных процессов ............................ 306
5.4.
Случайные непрерывные процессы в случайных средах............. 320
5.5.
Выбросы случайных точечных процессов ................................... 340
5.6.
Диаграммы рассеяния в анализе точечных процессов................. 348
5.7.
Случайные точечные процессы в случайных средах.................... 358
5.8.
Структура случайных полей и изображений................................ 373
5.9.
Характеристики превышений уровней
в анализе изображений ................................................................. 385
Заключение.............................................................................................. 392
ГЛАВА 6.
СТРУКТУРА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ................................................... 395
6.1.
Случайные выборки из случайных процессов............................. 396
6.2.
Парные сравнения случайных данных......................................... 408
5
Содержание
6.3.
Знаковые функции случайных процессов
в условиях случайной среды..........................................................412
6.4.
Случайные процессы со случайными
переходами между устойчивыми состояниями............................424
6.5.
Вероятностная структура и анализ речевых сигналов .................443
6.6.
Вероятностная структура оптических излучений
в лазерных информационных системах........................................463
6.7.
Регистрация оптических излучений
в режиме счета фотонов.................................................................471
Заключение..............................................................................................478
Литература..........................................................................................482
Перечень основных вероятностных моделей..........................................489
Предметный указатель.........................................................................491
Предисловие
Хорошо известно, что многие явления в природе, многие события и процессы в физике, технике и общем естествознании подвержены случайным изменениям и характеризуются вероятностными закономерностями.
При их описании и исследовании основные математические модели строятся на основе теории случайных процессов или, при более общем подходе, на основе теории случайных функций.
В классической теории вероятностей и теории случайных функций, как правило, считается, что вероятностные модели на интервале наблюдения исследуемых процессов остаются постоянными и не меняют своей структуры. В реальных задачах такое предположение не всегда выполняется, и достаточно часто подобные условия охватывают лишь идеализированную постановку задач.
Основное содержание данной работы связано с иным подходом
к построению моделей – здесь рассматриваются модели случайных функций в условиях воздействия на эти функции случайных сред. Другими словами, основное внимание здесь уделяется особенностям построения вероятностных моделей с двойной стохастичностью – вероятностным моделям, в которых случайным образом могут изменяться отдельные параметры или случайным образом может изменяться их основная структура на интервале наблюдения и анализа.
Общее представление о характере и последовательности изложения основных результатов можно получить на этапе предварительного просмотра оглавления и кратких аннотаций, которыми открывается каждая глава.
Изложение основного материала в данной работе начинается с расширенного введения. Здесь выделяются общие проблемы описания и анализа случайных процессов в условиях случайно-неоднородных сред.
Показываются особенности появления эффектов двойной стохастичности, и приводятся примеры практических задач, решения которых непосредственно связаны с исследованиями случайных процессов в случайных средах.
После вводной части всё содержание книги разделено на несколько самостоятельных глав. При этом первая глава носит общий характер.
В ней дается краткое изложение основных определений, показываются выбранные способы описания и общие свойства случайных функций. По своей сути результаты этой главы позволяют систематизировать вероятностное описание различных классов случайных функций.
Весь основной материал книги представлен в последующих пяти главах (главы 2–6). Эти главы существенно различаются по своему содержанию, и объединяющей чертой является здесь свойство двойной
стохастичности – исследование вероятностных моделей в условиях случайных
изменений их основных параметров. При этом, как правило, в каждой главе выделяются наиболее распространенные на практике типовые «рабочие» модели вероятностных распределений. Рассматриваются особенности классического описания и характерные особенности поведения таких моделей в условиях воздействия случайно-неод-
нородных сред.
Следует отметить, что по своему общему содержанию данная работа наиболее близко примыкает к опубликованной в издательстве
«ТЕХНОСФЕРА» работе В.И. Хименко «Случайные данные: модели, структура и анализ» (М.: ТЕХНОСФЕРА, 2024. — 576 с.). Здесь используются одинаковые определения и обозначения, единая форма описания вероятностных моделей и одинаковый характер представления основных результатов. По существу, данная работа может рассматриваться как своеобразное продолжение исследований вероятностной структуры случайных функций в условиях двойной стохастичности.
В целом предлагаемая книга подготавливалась так, чтобы её результатами удобно было пользоваться на практике. При изложении основного материала особое внимание уделялось трем вопросам:
• физический смысл рассматриваемых процессов и их моделей;
• единый подход к вероятностному описанию эффектов двойной стохастичности;
• область возможных практических применений результатов.
7
Предисловие
ВВЕДЕНИЕ
ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
В настоящее время при описании и исследовании информационных процессов, анализе сложных динамических систем, обработке экспериментальных данных, наблюдений и измерений широко используются методы и модели, основанные на общей теории случайных процессов или,
при более широком подходе, теории случайных функций. В зависимости от содержания решаемых задач подобными моделями описываются случайные изменения исследуемых физических процессов во времени, в пространстве или одновременно и во времени, и в пространстве.
При этом в подавляющем большинстве прикладных задач рассмотрение вероятностных моделей, как правило, выполняется в условиях, когда основные вероятностные характеристики исследуемых процессов на интервале наблюдения остаются постоянными – вероятностные распределения не изменяются. Такие особенности хорошо согласуются с классическими методами теории вероятностей [1, 2], теории случайных процессов [3, 4] и основными методами математической статистики [5, 6].
Допущения о постоянстве вероятностной структуры процессов на интервале их анализа позволяют заметно упростить исследования. Вместе с тем ясно, что подобные условия не всегда выполняются на практике.
Во многих реальных, не идеализированных задачах отдельные параметры и общая структура рассматриваемых процессов могут изменяться. И достаточно часто изменения эти представляют самостоятельный интерес. Без их учета решение подобных задач теряет свою содержательную основу.
Попытки перехода к рассмотрению более сложных ситуаций приводят к необходимости описания нестационарностей, различных неоднородностей структуры, построению более общих и более сложных моделей процессов и систем. В качестве одного из возможных подходов к решению подобного класса задач могут рассматриваться здесь результаты исследований случайных процессов в условиях случайных сред. Под понятием случайной среды могут при этом пониматься различные внутренние и внешние случайные воздействия на вероятностную структуру исходных процессов. Эти воздействия могут оказывать случайные влияния на отдельные параметры, общие вероятностные свойства или условия наблюдения и измерения рассматриваемых процессов.
• • • Важной особенностью такого подхода является то, что рассмотрение случайных процессов в случайных средах по своей сути приводит к построению и исследованию вероятностных моделей с двойной стохастичностью.
• Эффекты двойной стохастичности
Выделим теперь в качестве простой иллюстрации несколько характерных примеров прикладных задач, решения которых связаны с необходимостью рассмотрения двойной стохастичности.
• Исследования стохастических систем [7–9]. По своему определению к классу стохастических систем могут относиться динамические системы различной физической природы, в которых оператор преобразования входного воздействия в выходной процесс меняет в случайные моменты времени свои характеристики случайным образом. При случайных входных воздействиях вероятностное описание подобных систем приводит к анализу двойной стохастичности.
• Радиофизические исследования [10–12]. Одно из самостоятельных направлений в статистической радиофизике связано с изучением условий распространения электромагнитных излучений в атмосфере, ионосфере, космическом пространстве. При этом возникает необходимость изучения эффектов многолучевого распространения сигналов, эффектов интерференции, затухания и рассеяния, эффектов замирания сигналов на трассе распространения. Все эти эффекты описываются вероятностными закономерностями и с учетом случайных изменений зондирующих сигналов приводят к двойной стохастичности основных вероятностных моделей.
• Исследования систем передачи информации [13, 14]. При построении систем подвижной связи, систем локации и навигации широко используются беспроводные каналы связи со случайно-неоднородными средами. При их анализе рассматриваются случайные изменения информационных процессов, внутренние и внешние случайные помеховые воздействия
и, помимо этого, случайные изменения среды распространения сигналов. Такие исследования характерны для систем и сетей информационного обмена, использующих акустические и гидроакустические каналы, радиоканалы и каналы оптической или лазерной связи. Результаты вероятностного анализа существенно влияют здесь на выбор структуры сигналов, процедуры синтеза оптимальных алгоритмов передачи, приема и обработки информации, потенциальные характеристики и общую эффективность проектируемых систем.
• Анализ случайных потоков событий [15–17]. Во многих задачах теории надежности, теории массового обслуживания, теории рисков и теории восстановления в качестве основных вероятностных моделей рассматриваются модели случайных потоков событий. В зависимости от содержательной постановки задач под понятием потоков событий могут при этом
9
Введение
10 Случайные процессы в случайных средах
пониматься моменты выхода из строя некоторого элемента, устройства
или системы, моменты поступления заявок на обслуживание, моменты
выхода отдельных параметров исследуемого объекта за границы области
допустимых значений. Это могут быть случайные потоки транспортных
средств (теория транспортных потоков), потоки фотонов или электронов
в задачах регистрации слабых оптических излучений, случайные потоки
элементарных частиц в ядерно-физических экспериментах.
Все перечисленные потоки событий изменяются случайным образом,
и их анализ обычно выполняется на основе вероятностных моделей слу-
чайных точечных процессов. Если при этом рассмотреть задачи вероят-
ностного анализа в более общей постановке, то можно заметить, что ис-
следуемые случайные потоки на интервале наблюдения могут случайным
образом изменять свою интенсивность и общую вероятностную структуру.
В частности, могут появляться эффекты случайной группировки событий,
эффекты случайных скоплений или случайных разрежений потока. Реше-
ния подобного класса задач приводит к исследованиям случайных точеч-
ных процессов с двойной стохастичностью.
• Анализ систем со случайным множественным доступом [16, 18, 19].
Достаточно широкий и самостоятельный класс сложных динамических
систем относится к области систем со случайным множественным досту-
пом. Наглядными примерами здесь являются системы и сети спутниковой
мобильной связи, информационные системы интегрального обслужива-
ния, компьютерные вычислительные сети, глобальные сети навигации и
управления. К этому же классу систем относятся многие пространствен-
но-распределенные энергетические комплексы.
Режимы работы систем со случайным множественным доступом за-
висят от уровня нагрузки, изменений общего числа абонентов (или по-
требителей), длительностей отдельных подключений. Процессы подоб-
ных изменений не являются стационарными и однородными. Они могут,
например, изменять случайным образом свою структуру в зависимости
от времени года, дней недели, времени суток и различных внешних со-
бытий. Все эти особенности приводят к необходимости разработки веро-
ятностных моделей случайных процессов со случайными изменениями
их внутренней структуры.
• Исследования систем с несколькими устойчивыми состояниями
[20–22]. Многие физические явления и процессы связаны со сложными
динамическими системами, которые имеют несколько устойчивых состо-
яний. В случайные моменты времени такие системы могут переходить из
одного состояния в другое. Это характерно, в частности, для работы ши-
рокого класса релейных систем автоматического управления, для работы
ионных каналов и структуры процессов нейронной активности в системах
нейрофизиологии, для исследования хаотических переходов в нелиней-
ных колебательных системах. Подобные принципы функционирования
Введение 11
характерны также для систем пороговой обработки информации в систе-
мах компьютерного зрения, системах телеметрии, мониторинга и переда-
чи дискретной информации.
Двойная стохастичность проявляется здесь при описании и анализе
случайных процессов со случайными переходами или случайными пере-
ключениями.
• Исследования систем живой природы [21, 23–27]. Особый класс задач
вероятностного анализа связан с изучением информационных процессов
в сложных развивающихся системах живой природы. В подобных задачах
условия постоянства вероятностной структуры, постоянства параметров,
условия стационарности и однородности исследуемых данных, как пра-
вило, относятся лишь к идеализированному рассмотрению протекающих
процессов. Системы живой природы обладают способностью к само-
организации, функциональной, структурной и параметрической пере-
стройке. Исследуемые процессы в таких системах обычно представляют
собой сложное сочетание динамически взаимодействующих компонент.
Происходит постоянная адаптация живых систем к случайным изменени-
ям внешней и внутренней среды. На этапе экспериментальных исследо-
ваний, наблюдений и измерений общее состояние и основные характери-
стики систем могут существенно изменяться.
• • • Конечно, нужно подчеркнуть, что выделенные здесь примеры
случайных процессов и систем являются лишь простой иллюстра-
цией многообразия практических задач, связанных с необходимо-
стью разработки и исследования вероятностных моделей с двойной
стохастичностью. Приведенные примеры не охватывают всю об-
ласть прикладных задач подобного класса, их можно существенно
расширить, и дополнить.
• • • Характерной особенностью всех основных задач с двойной сто-
хастичностью является то, что их решения зависят от вероятностной
структуры исходного случайного процесса и вероятностных свойств
случайной среды, в которой рассматривается исходный процесс.
• Особенности развития исследований
Обычно в общей теории вероятностей и общей теории случайных
процессов формирование какой-либо самостоятельной области исследо-
ваний происходит по двум взаимосвязанным направлениям. При этом,
с одной стороны, возникают новые прикладные задачи, рассматривают-
ся возможные методы их решения, разрабатываются и исследуются новые
вероятностные модели. С другой стороны, параллельно с новыми моде-
лями, формируются строгие, формализованные, математические основы
для решения подобного класса практических задач.
12 Случайные процессы в случайных средах
Выделим здесь несколько характерных работ, которые связаны с рас-
смотрением двойной стохастичности, и которые заметно повлияли на раз-
витие исследований случайных процессов в условиях случайно-неодно-
родных сред.
В качестве одной из основных, по-видимому, здесь следует, прежде
всего, выделить работу Д. Кокса [28]. В ней рассматривались моде-
ли пуассоновских потоков событий при условии случайных изменений
их функции интенсивности. Предложенная модель рассматривалась
как вероятностная модель дважды стохастического пуассоновского про-
цесса [28, 29]. В последующих работах обычно такая модель называ-
ется моделью процессов Кокса. Близкие по своей форме результаты
были представлены в классической монографии Феллера [1] и в работах
[30–32]. Основным подходом здесь являлся метод рандомизации параметров
вероятностных распределений.
Подобные модели позволяют во многих задачах достаточно хоро-
шо описывать реальные данные, они сравнительно просто исследуются,
и широко используются на практике. Примерами здесь могут служить
задачи приема и регистрации слабых оптических (в частности, лазерных)
излучений [30–32], задачи теории надежности, теории восстановления и
теории рисков [33–35].
Самостоятельное направление исследований в области двойной сто-
хастичности связано с изучением случайных блужданий и структуры вет-
вящихся процессов в условиях неоднородной среды. В работах этого на-
правления [36–39] в основном изучаются законы размножения частиц,
когда сами эти законы подвержены случайным изменениям. Как пра-
вило, исследуются при этом основные свойства ветвящихся процессов
при различной вероятностной природе формирования случайных сред.
Важной особенностью полученных здесь результатов является обоснова-
ние и математически строгое исследование взаимосвязи структуры вет-
вящихся процессов в случайных средах и теории случайных блужданий
в случайной среде [36].
Существенную роль в исследованиях процессов с двойной стоха-
стичностью играют работы, выполненные по различным прикладным
направлениям. Характерными примерами здесь могут быть работы, свя-
занные с рассмотрением методов вероятностного анализа стохастических
систем [7, 9], систем со случайными параметрами [8], систем с перемен-
ной структурой [40]. Как правило, в этих работах рассматриваются разно-
образные динамические системы со случайными изменениями оператора
преобразования входных сигналов. Результаты подобных работ отражают
особенности содержательной постановки практических задач, показы-
вают прикладную значимость и актуальность исследований случайных
процессов в условиях случайно-неоднородных сред.
Введение 13
ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. –
М.: Книжный дом «Либроком»/ URSS, 2010.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Изд-во ЛКИ/ URSS,
2015.
3. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.:
Мир, 1969.
4. Розанов Ю.А. Случайные процессы. – М.: Наука, 1979.
5. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975.
6. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статисти-
ку. – М.: Изд-во ЛКИ/URSS, 2010.
7. Пугачев В.С., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической
теории автоматических систем. – М.: Машиностроение, 1974.
8. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметра-
ми. – М.: Наука, 1976.
9. Адомиан Дж. Стохастические системы. – М.: Мир, 1987.
10. Яковлев О.И. Космическая радиофизика. – М.: Научная книга, 1998.
11. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднород-
ных средах. Т. 1,2. – М.: Мир, 1981.
12. Яковлев О.И., Якубов В.П., Урядов В.П., Павельев А.Г. Распростране-
ние радиоволн. – М.: Ленанд, 2017.
13. Волков Л.Н., Немировский М.С., Шинаков Ю.С. Системы цифровой
радиосвязи: базовые методы и характеристики. – М.: Эко-Трендз,
2005.
14. Боккуцци Дж. Обработка сигналов для беспроводной связи. –
М.: Техносфера, 2012.
15. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслужи-
вания. – М.: Изд-во ЛКИ/ URSS, 2013.
16. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир, 1979.
17. Потапов А.В., Чернявский А.Ф. Статистические методы измерений
в экспериментальной ядерной физике. – М.: Атомиздат, 1980.
18. Камнев В.Е., Черкасов В.В., Чечин Г.В. Спутниковые сети связи. –
М.: Альпина – Паблишер, 2004.
19. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое при-
менение. – М.: Вильямс, 2007.
20. Теория управления (дополнительные главы) / под ред. Д.А. Новико-
ва. – М.: ЛЕНАНД, 2019.
21. Николлс Дж., Мартин А.Р., Валлас Б.Дж., Фукс П.А. От нейрона
к мозгу. – М.: Издательство ЛКИ, 2008.
14 Случайные процессы в случайных средах
22. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастиче-
ских системах. – М.: Физматлит, 2007.
23. Антомонов Ю.Г. Моделирование биологических систем. – Киев:
Наукова думка, 1977.
24. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое
моделирование в биофизике. – Москва – Ижевск: Институт компью-
терных исследований, 2004.
25. Кулаичев А.П. Компьютерная электрофизиология и функциональная
диагностика. – М.: Форум: Инфра – М; 2007.
26. Компьютер и мозг. Новые технологии. – М.: Наука, 2005.
27. Рангайян Р.М. Анализ биомедицинских сигналов. Практический
подход. – М.: Физматлит, 2007.
28. Cox D.R. Some statistical models related with series of events // J. Roy.
Statist. Soc. 1955. V. 17. P. 129 – 164.
29. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes. – Berlin: Springer –
Verlag, 1976.
30. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. – М.: Мир, 1970.
31. Гудмен Дж. Статистическая оптика. – М.: Мир, 1988.
32. Мандель Д., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая опти-
ка. – М.: Физматлит, 2000.
33. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей
событий. – М.: Мир, 1969.
34. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. – М.: МЦНМО, 2007.
35. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы
теории риска. – М.: Физматлит, 2011.
36. Афанасьев В.И. Случайные блуждания и ветвящиеся процессы
в случайной среде. – Дис. д-ра физ.-мат. наук. – М.: МГУ, 2000.
37. Ватутин В.А., Дьякова Е.Е. Критические ветвящиеся процессы в слу-
чайной среде // Дискретная математика, 1997. Т. 9. № 4. С. 100–126.
38. Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments:
Extinction probabilities // Ann. Math. Statist. 1971. V. 42. № 5.
P. 1499–1520.
39. Дьякова Е.Е. Предельные теоремы для ветвящихся процессов в слу-
чайной среде. – Дис. д-ра физ.-мат. наук. – М.: МГУ, 2013.
40. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структу-
рой. – М.: Наука, 1977.
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ,
КЛАССИФИКАЦИЯ
И ОБЩИЕ СВОЙСТВА
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
• Общее определение и классификация случайных
функций
• Вероятностное описание и основные характеристики
• Свойства стационарности и однородности
• Спектрально-корреляционные характеристики
процессов
• Непрерывность и дифференцируемость случайных
функций
Исследования вероятностной структуры случайных функций, как
правило, всегда связаны с некоторой предварительной классификацией
рассматриваемых процессов, выделением основных, общих свойств, вы-
бором методов описания и необходимой полноты анализа, и только после
этого – непосредственным исследованиям вероятностной структуры из-
учаемых процессов.
С учетом этих особенностей в данной главе приводится общее опре-
деление случайных функций и на его основе показываются возможно-
сти предварительной общей классификации вероятностных моделей.
При этом выделяются самостоятельные классы случайных последователь-
ностей, случайных непрерывных процессов, случайных точечных про-
цессов и случайных пространственно-временных полей. Показываются
особенности вероятностного описания случайных функций на основе
конечномерных распределений и приводится определение основных,
наиболее распространенных на практике числовых вероятностных харак-
теристик. Кратко рассматриваются спектрально-корреляционные харак-
теристики случайных процессов, выделяются свойства стационарности
и однородности, свойства непрерывности и дифференцируемости выбо-
рочных функций.
Следует подчеркнуть, что по своему содержанию данная глава носит
вводный характер. Основное внимание здесь уделяется лишь тем резуль-
татам, которые существенно влияют на выбор методов вероятностного ис-
следования случайных процессов и которые непосредственно использу-
ются при изложении материала последующих глав.
16 Случайные процессы в случайных средах
1.1. Общая классификация случайных функций
Разнообразие практических задач в физических, технических и естествен-
но-научных приложениях всегда приводит к необходимости исследования
разнообразных явлений, процессов или систем. Различия здесь могут быть
связаны с физической природой изучаемых процессов, их вероятностной
структурой, особенностями построения вероятностных моделей и обла-
стью практического использования результатов.
При наиболее общем подходе случайная функция формально опреде-
ляется как семейство случайных переменных:
{ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S},
в котором s – параметр, X – пространство состояний переменной ξ,
S – множество возможных значений параметра s. Если из рассматривае-
мого семейства {ξ(s)} выбрать лишь одну функцию ξ(s), то такую функцию
ξ(s) принято называть выборочной функцией, или отдельной реализацией.
Классификация случайных функций, как и любая классификация,
существенно зависит от целей и содержания решаемых задач. Она мо-
жет выполняться различными способами и по самым различным при-
знакам. На предварительных этапах вероятностного анализа за основу
классификации удобно взять общее определение случайной функции
{ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S} и путем конкретизации множеств X и S разделить все
многообразие функций {ξ(s)} на самостоятельные классы [19, 59, 69]
(схема 1.1.1).
Разделение случайных функций {ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S } по виду
пространства состояний X и виду параметрического множества S сра-
зу же разделяет эти функции и по характерному виду их реализаций ξ(s).
В задачах обработки и анализа информации такое деление необходимо,
так как от вида выборочных функций существенно зависят и сами методы
исследования их структуры.
Выделим здесь особенности нескольких основных классов случайных
функций, задачи исследования которых наиболее часто возникают в прак-
тических приложениях.
1. Случайные последовательности и временные ряды
Предположим, что в общем определении случайной функции
{ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S} пространство состояний X является непрерыв-
ным скалярным множеством, параметр s представляет собой время,
а параметрическое множество S – дискретное, то есть s = t – время и
S = T = {tn, n = 0, 1, 2, ...}. Для случайной функции удобно при этом исполь-
зовать обозначение {ξ(s)} = {ξ(tn)} = {ξn}, где n = 0, 1, 2, ... . Называется та-
кая функция непрерывной случайной последовательностью. В некоторых
задачах ее называют также временным рядом или непрерывным случай-
Глава 1. Определение, классификация и общие свойства случайных процессов 17
ным процессом с дискретным временем. Обычно в данном определении
считается, что t0 < t1 < t2 < ... и Δt = ti – ti–1 = const при любых i = 1, 2, ..., m.
Если предположить здесь, что пространство состояний X не непрерывное,
а дискретное множество, то функция {ξn} будет называться дис-
кретной случайной последовательностью.
В более общей ситуации можно рассматривать векторную последова-
тельность {ξn} = {ξ1n, ξ2n, ..., ξqn}, каждая компонента которой ξjn, j = 1, 2, ..., q
сама является непрерывной или дискретной случайной функцией.
На практике обычно случайные последовательности можно интер-
претировать следующим образом [13, 109, 124]. При исследовании неко-
торой сложной динамической системы или при изучении протекающих
во времени процессов проводятся измерения какого-либо параметра:
например, измеряется электрическое напряжение или электрический
ток, температура, давление, значение биопотенциалов, значение скоро-
сти движения. Измерения проводятся в дискретные моменты времени
t1, t2, t3, ... через равные интервалы Dt. В результате таких измерений по-
лучается последовательность наблюдений ξ(t1), ξ(t2), ξ(t3), ... или, в более
простой форме записи ξ1, ξ2, ξ3, ... Если при этом измеряемый процесс
ξ(t) меняется непрерывно во времени, то получаемая последовательность
ξ1, ξ2, ξ3, ... относится к классу непрерывных случайных последователь-
ностей. Если же исследуемый параметр или процедура регистрации
имеет дискретный характер, то и случайная последовательность будет
относиться к классу дискретных.
В качестве примера на схеме 1.1.2 показаны экспериментальные ре-
зультаты нескольких различных по своему содержанию исследований.
При описании и построении математических моделей в задачах обра-
ботки и анализа данных все подобные результаты (независимо от физи-
ческой природы изучаемых процессов) могут рассматриваться на основе
теории случайных последовательностей или теории случайных временных
рядов.
2. Непрерывные случайные процессы
Если теперь предположить, что в общем определении случайной
функции {ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S} параметр s = t – время, а простран-
ство состояний X и параметрическое множество S = T являются непре-
рывными множествами, то полученная функция {ξ(t)} = {ξ(t), ξ ∈ X, t ∈ T}
будет соответствовать определению непрерывного случайного процесса.
Как правило, T представляет собой некоторый интервал временной оси,
то есть t ∈ [t0, t0 + T] = [0, T]. Значения случайных переменных ξ(t) мо-
гут быть при этом либо действительными (скалярными), либо комплекс-
ными, либо векторными. Соответственно, и исследуемые процессы {ξ(t)}
будут называться скалярными, комплексными или векторными случай-
ными процессами [19, 59, 69, 107].
Большинство исследуемых природных явлений и процессов в фи-
зических, технических и биологических системах относятся к про-
цессам, протекающим непрерывно во времени. Если такие про-
цессы наблюдаются (регистрируются) непрерывно на некотором
временном интервале [t0, t0 + T ] = [0, T ] длительностью T, то в ре-
зультате наблюдения получается реализация или траектория, или вы-
борочная функция ξ(t), t ∈ T исследуемого непрерывного процесса
{ξ(t), t ∈ T}.
Глава 1. Определение, классификация и общие свойства случайных процессов
20 Случайные процессы в случайных средах
Глава 1. Определение, классификация и общие свойства случайных процессов
22 Случайные процессы в случайных средах
3. Случайные точечные процессы и потоки событий
Формальное определение класса случайных точечных процессов
связано с рассмотрением случайных функций {ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S},
в которых пространство состояний X – это некоторое дискретное то-
чечное множество – пространство случайно распределенных точек
[3, 59, 61, 168]. Обычно в практических задачах каждой точке ста-
вится в соответствие какое-либо событие, и тогда пространство X и
нтерпретируется как дискретное множество однородных событий. Если,
например, события происходят во времени, то параметр s = t, t ∈ T
и случайный процесс {ξ(t)} эквивалентен последовательности точек
{ tn, n = 1, 2, ...}, соответствующих случайным моментам t1, t2, t3, ... появле-
ния рассматриваемых событий. В зависимости от содержания решаемых
задач такие процессы часто относятся к классу случайных потоков одно-
родных (в смысле, одинаковых) событий. Во многих задачах [59, 126] опи-
сание последовательности событий { tn }, t1 < t2 < t3, ... может быть выполнено
и как описание целочисленного случайного процесса {n(t)}, характеризующего
число n(t) событий (точек) на текущем интервале времени [0, t ).
Содержательная интерпретация потоков событий в подобных моде-
лях может быть весьма разнообразна. Это могут быть, например, случай-
ные потоки однородных импульсов в радиолокационных системах, слу-
чайные потоки импульсов в нейронных сетях, случайные потоки отказов
в работе аппаратуры, потоки заявок в системах массового обслуживания,
потоки импульсных воздействий в системах управления. Все подобные
примеры относятся к исследованиям однородных событий, происходя-
щих последовательно одно за другим в некоторые случайные моменты
времени.
Модели точечных процессов допускают различные обобщения.
Так, например, случайное множество точек (событий) можно рассматри-
вать не только на временной оси [0, t), но и на плоскости (x, y) или в ка-
ком-либо пространстве (x, y, z). В зависимости от содержания решаемых
задач подобные модели могут рассматриваться как случайные точечные
процессы или, в более общей ситуации, как случайные точечные поля,
изменяющиеся и во времени, и в пространстве.
На схеме 1.1.5 показано несколько характерных примеров, относя-
щихся к исследованиям случайных потоков однородных событий.
4.
Хорошо известно, что многие явления в природе, многие события и процессы в физике, технике и общем естествознании подвержены случайным изменениям и характеризуются вероятностными закономерностями.
При их описании и исследовании основные математические модели строятся на основе теории случайных процессов или, при более общем подходе, на основе теории случайных функций.
В классической теории вероятностей и теории случайных функций, как правило, считается, что вероятностные модели на интервале наблюдения исследуемых процессов остаются постоянными и не меняют своей структуры. В реальных задачах такое предположение не всегда выполняется, и достаточно часто подобные условия охватывают лишь идеализированную постановку задач.
Основное содержание данной работы связано с иным подходом
к построению моделей – здесь рассматриваются модели случайных функций в условиях воздействия на эти функции случайных сред. Другими словами, основное внимание здесь уделяется особенностям построения вероятностных моделей с двойной стохастичностью – вероятностным моделям, в которых случайным образом могут изменяться отдельные параметры или случайным образом может изменяться их основная структура на интервале наблюдения и анализа.
Общее представление о характере и последовательности изложения основных результатов можно получить на этапе предварительного просмотра оглавления и кратких аннотаций, которыми открывается каждая глава.
Изложение основного материала в данной работе начинается с расширенного введения. Здесь выделяются общие проблемы описания и анализа случайных процессов в условиях случайно-неоднородных сред.
Показываются особенности появления эффектов двойной стохастичности, и приводятся примеры практических задач, решения которых непосредственно связаны с исследованиями случайных процессов в случайных средах.
После вводной части всё содержание книги разделено на несколько самостоятельных глав. При этом первая глава носит общий характер.
В ней дается краткое изложение основных определений, показываются выбранные способы описания и общие свойства случайных функций. По своей сути результаты этой главы позволяют систематизировать вероятностное описание различных классов случайных функций.
Весь основной материал книги представлен в последующих пяти главах (главы 2–6). Эти главы существенно различаются по своему содержанию, и объединяющей чертой является здесь свойство двойной
стохастичности – исследование вероятностных моделей в условиях случайных
изменений их основных параметров. При этом, как правило, в каждой главе выделяются наиболее распространенные на практике типовые «рабочие» модели вероятностных распределений. Рассматриваются особенности классического описания и характерные особенности поведения таких моделей в условиях воздействия случайно-неод-
нородных сред.
Следует отметить, что по своему общему содержанию данная работа наиболее близко примыкает к опубликованной в издательстве
«ТЕХНОСФЕРА» работе В.И. Хименко «Случайные данные: модели, структура и анализ» (М.: ТЕХНОСФЕРА, 2024. — 576 с.). Здесь используются одинаковые определения и обозначения, единая форма описания вероятностных моделей и одинаковый характер представления основных результатов. По существу, данная работа может рассматриваться как своеобразное продолжение исследований вероятностной структуры случайных функций в условиях двойной стохастичности.
В целом предлагаемая книга подготавливалась так, чтобы её результатами удобно было пользоваться на практике. При изложении основного материала особое внимание уделялось трем вопросам:
• физический смысл рассматриваемых процессов и их моделей;
• единый подход к вероятностному описанию эффектов двойной стохастичности;
• область возможных практических применений результатов.
7
Предисловие
ВВЕДЕНИЕ
ПРОБЛЕМЫ АНАЛИЗА
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
В настоящее время при описании и исследовании информационных процессов, анализе сложных динамических систем, обработке экспериментальных данных, наблюдений и измерений широко используются методы и модели, основанные на общей теории случайных процессов или,
при более широком подходе, теории случайных функций. В зависимости от содержания решаемых задач подобными моделями описываются случайные изменения исследуемых физических процессов во времени, в пространстве или одновременно и во времени, и в пространстве.
При этом в подавляющем большинстве прикладных задач рассмотрение вероятностных моделей, как правило, выполняется в условиях, когда основные вероятностные характеристики исследуемых процессов на интервале наблюдения остаются постоянными – вероятностные распределения не изменяются. Такие особенности хорошо согласуются с классическими методами теории вероятностей [1, 2], теории случайных процессов [3, 4] и основными методами математической статистики [5, 6].
Допущения о постоянстве вероятностной структуры процессов на интервале их анализа позволяют заметно упростить исследования. Вместе с тем ясно, что подобные условия не всегда выполняются на практике.
Во многих реальных, не идеализированных задачах отдельные параметры и общая структура рассматриваемых процессов могут изменяться. И достаточно часто изменения эти представляют самостоятельный интерес. Без их учета решение подобных задач теряет свою содержательную основу.
Попытки перехода к рассмотрению более сложных ситуаций приводят к необходимости описания нестационарностей, различных неоднородностей структуры, построению более общих и более сложных моделей процессов и систем. В качестве одного из возможных подходов к решению подобного класса задач могут рассматриваться здесь результаты исследований случайных процессов в условиях случайных сред. Под понятием случайной среды могут при этом пониматься различные внутренние и внешние случайные воздействия на вероятностную структуру исходных процессов. Эти воздействия могут оказывать случайные влияния на отдельные параметры, общие вероятностные свойства или условия наблюдения и измерения рассматриваемых процессов.
• • • Важной особенностью такого подхода является то, что рассмотрение случайных процессов в случайных средах по своей сути приводит к построению и исследованию вероятностных моделей с двойной стохастичностью.
• Эффекты двойной стохастичности
Выделим теперь в качестве простой иллюстрации несколько характерных примеров прикладных задач, решения которых связаны с необходимостью рассмотрения двойной стохастичности.
• Исследования стохастических систем [7–9]. По своему определению к классу стохастических систем могут относиться динамические системы различной физической природы, в которых оператор преобразования входного воздействия в выходной процесс меняет в случайные моменты времени свои характеристики случайным образом. При случайных входных воздействиях вероятностное описание подобных систем приводит к анализу двойной стохастичности.
• Радиофизические исследования [10–12]. Одно из самостоятельных направлений в статистической радиофизике связано с изучением условий распространения электромагнитных излучений в атмосфере, ионосфере, космическом пространстве. При этом возникает необходимость изучения эффектов многолучевого распространения сигналов, эффектов интерференции, затухания и рассеяния, эффектов замирания сигналов на трассе распространения. Все эти эффекты описываются вероятностными закономерностями и с учетом случайных изменений зондирующих сигналов приводят к двойной стохастичности основных вероятностных моделей.
• Исследования систем передачи информации [13, 14]. При построении систем подвижной связи, систем локации и навигации широко используются беспроводные каналы связи со случайно-неоднородными средами. При их анализе рассматриваются случайные изменения информационных процессов, внутренние и внешние случайные помеховые воздействия
и, помимо этого, случайные изменения среды распространения сигналов. Такие исследования характерны для систем и сетей информационного обмена, использующих акустические и гидроакустические каналы, радиоканалы и каналы оптической или лазерной связи. Результаты вероятностного анализа существенно влияют здесь на выбор структуры сигналов, процедуры синтеза оптимальных алгоритмов передачи, приема и обработки информации, потенциальные характеристики и общую эффективность проектируемых систем.
• Анализ случайных потоков событий [15–17]. Во многих задачах теории надежности, теории массового обслуживания, теории рисков и теории восстановления в качестве основных вероятностных моделей рассматриваются модели случайных потоков событий. В зависимости от содержательной постановки задач под понятием потоков событий могут при этом
9
Введение
10 Случайные процессы в случайных средах
пониматься моменты выхода из строя некоторого элемента, устройства
или системы, моменты поступления заявок на обслуживание, моменты
выхода отдельных параметров исследуемого объекта за границы области
допустимых значений. Это могут быть случайные потоки транспортных
средств (теория транспортных потоков), потоки фотонов или электронов
в задачах регистрации слабых оптических излучений, случайные потоки
элементарных частиц в ядерно-физических экспериментах.
Все перечисленные потоки событий изменяются случайным образом,
и их анализ обычно выполняется на основе вероятностных моделей слу-
чайных точечных процессов. Если при этом рассмотреть задачи вероят-
ностного анализа в более общей постановке, то можно заметить, что ис-
следуемые случайные потоки на интервале наблюдения могут случайным
образом изменять свою интенсивность и общую вероятностную структуру.
В частности, могут появляться эффекты случайной группировки событий,
эффекты случайных скоплений или случайных разрежений потока. Реше-
ния подобного класса задач приводит к исследованиям случайных точеч-
ных процессов с двойной стохастичностью.
• Анализ систем со случайным множественным доступом [16, 18, 19].
Достаточно широкий и самостоятельный класс сложных динамических
систем относится к области систем со случайным множественным досту-
пом. Наглядными примерами здесь являются системы и сети спутниковой
мобильной связи, информационные системы интегрального обслужива-
ния, компьютерные вычислительные сети, глобальные сети навигации и
управления. К этому же классу систем относятся многие пространствен-
но-распределенные энергетические комплексы.
Режимы работы систем со случайным множественным доступом за-
висят от уровня нагрузки, изменений общего числа абонентов (или по-
требителей), длительностей отдельных подключений. Процессы подоб-
ных изменений не являются стационарными и однородными. Они могут,
например, изменять случайным образом свою структуру в зависимости
от времени года, дней недели, времени суток и различных внешних со-
бытий. Все эти особенности приводят к необходимости разработки веро-
ятностных моделей случайных процессов со случайными изменениями
их внутренней структуры.
• Исследования систем с несколькими устойчивыми состояниями
[20–22]. Многие физические явления и процессы связаны со сложными
динамическими системами, которые имеют несколько устойчивых состо-
яний. В случайные моменты времени такие системы могут переходить из
одного состояния в другое. Это характерно, в частности, для работы ши-
рокого класса релейных систем автоматического управления, для работы
ионных каналов и структуры процессов нейронной активности в системах
нейрофизиологии, для исследования хаотических переходов в нелиней-
ных колебательных системах. Подобные принципы функционирования
Введение 11
характерны также для систем пороговой обработки информации в систе-
мах компьютерного зрения, системах телеметрии, мониторинга и переда-
чи дискретной информации.
Двойная стохастичность проявляется здесь при описании и анализе
случайных процессов со случайными переходами или случайными пере-
ключениями.
• Исследования систем живой природы [21, 23–27]. Особый класс задач
вероятностного анализа связан с изучением информационных процессов
в сложных развивающихся системах живой природы. В подобных задачах
условия постоянства вероятностной структуры, постоянства параметров,
условия стационарности и однородности исследуемых данных, как пра-
вило, относятся лишь к идеализированному рассмотрению протекающих
процессов. Системы живой природы обладают способностью к само-
организации, функциональной, структурной и параметрической пере-
стройке. Исследуемые процессы в таких системах обычно представляют
собой сложное сочетание динамически взаимодействующих компонент.
Происходит постоянная адаптация живых систем к случайным изменени-
ям внешней и внутренней среды. На этапе экспериментальных исследо-
ваний, наблюдений и измерений общее состояние и основные характери-
стики систем могут существенно изменяться.
• • • Конечно, нужно подчеркнуть, что выделенные здесь примеры
случайных процессов и систем являются лишь простой иллюстра-
цией многообразия практических задач, связанных с необходимо-
стью разработки и исследования вероятностных моделей с двойной
стохастичностью. Приведенные примеры не охватывают всю об-
ласть прикладных задач подобного класса, их можно существенно
расширить, и дополнить.
• • • Характерной особенностью всех основных задач с двойной сто-
хастичностью является то, что их решения зависят от вероятностной
структуры исходного случайного процесса и вероятностных свойств
случайной среды, в которой рассматривается исходный процесс.
• Особенности развития исследований
Обычно в общей теории вероятностей и общей теории случайных
процессов формирование какой-либо самостоятельной области исследо-
ваний происходит по двум взаимосвязанным направлениям. При этом,
с одной стороны, возникают новые прикладные задачи, рассматривают-
ся возможные методы их решения, разрабатываются и исследуются новые
вероятностные модели. С другой стороны, параллельно с новыми моде-
лями, формируются строгие, формализованные, математические основы
для решения подобного класса практических задач.
12 Случайные процессы в случайных средах
Выделим здесь несколько характерных работ, которые связаны с рас-
смотрением двойной стохастичности, и которые заметно повлияли на раз-
витие исследований случайных процессов в условиях случайно-неодно-
родных сред.
В качестве одной из основных, по-видимому, здесь следует, прежде
всего, выделить работу Д. Кокса [28]. В ней рассматривались моде-
ли пуассоновских потоков событий при условии случайных изменений
их функции интенсивности. Предложенная модель рассматривалась
как вероятностная модель дважды стохастического пуассоновского про-
цесса [28, 29]. В последующих работах обычно такая модель называ-
ется моделью процессов Кокса. Близкие по своей форме результаты
были представлены в классической монографии Феллера [1] и в работах
[30–32]. Основным подходом здесь являлся метод рандомизации параметров
вероятностных распределений.
Подобные модели позволяют во многих задачах достаточно хоро-
шо описывать реальные данные, они сравнительно просто исследуются,
и широко используются на практике. Примерами здесь могут служить
задачи приема и регистрации слабых оптических (в частности, лазерных)
излучений [30–32], задачи теории надежности, теории восстановления и
теории рисков [33–35].
Самостоятельное направление исследований в области двойной сто-
хастичности связано с изучением случайных блужданий и структуры вет-
вящихся процессов в условиях неоднородной среды. В работах этого на-
правления [36–39] в основном изучаются законы размножения частиц,
когда сами эти законы подвержены случайным изменениям. Как пра-
вило, исследуются при этом основные свойства ветвящихся процессов
при различной вероятностной природе формирования случайных сред.
Важной особенностью полученных здесь результатов является обоснова-
ние и математически строгое исследование взаимосвязи структуры вет-
вящихся процессов в случайных средах и теории случайных блужданий
в случайной среде [36].
Существенную роль в исследованиях процессов с двойной стоха-
стичностью играют работы, выполненные по различным прикладным
направлениям. Характерными примерами здесь могут быть работы, свя-
занные с рассмотрением методов вероятностного анализа стохастических
систем [7, 9], систем со случайными параметрами [8], систем с перемен-
ной структурой [40]. Как правило, в этих работах рассматриваются разно-
образные динамические системы со случайными изменениями оператора
преобразования входных сигналов. Результаты подобных работ отражают
особенности содержательной постановки практических задач, показы-
вают прикладную значимость и актуальность исследований случайных
процессов в условиях случайно-неоднородных сред.
Введение 13
ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. –
М.: Книжный дом «Либроком»/ URSS, 2010.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Изд-во ЛКИ/ URSS,
2015.
3. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.:
Мир, 1969.
4. Розанов Ю.А. Случайные процессы. – М.: Наука, 1979.
5. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975.
6. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статисти-
ку. – М.: Изд-во ЛКИ/URSS, 2010.
7. Пугачев В.С., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической
теории автоматических систем. – М.: Машиностроение, 1974.
8. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметра-
ми. – М.: Наука, 1976.
9. Адомиан Дж. Стохастические системы. – М.: Мир, 1987.
10. Яковлев О.И. Космическая радиофизика. – М.: Научная книга, 1998.
11. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднород-
ных средах. Т. 1,2. – М.: Мир, 1981.
12. Яковлев О.И., Якубов В.П., Урядов В.П., Павельев А.Г. Распростране-
ние радиоволн. – М.: Ленанд, 2017.
13. Волков Л.Н., Немировский М.С., Шинаков Ю.С. Системы цифровой
радиосвязи: базовые методы и характеристики. – М.: Эко-Трендз,
2005.
14. Боккуцци Дж. Обработка сигналов для беспроводной связи. –
М.: Техносфера, 2012.
15. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслужи-
вания. – М.: Изд-во ЛКИ/ URSS, 2013.
16. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир, 1979.
17. Потапов А.В., Чернявский А.Ф. Статистические методы измерений
в экспериментальной ядерной физике. – М.: Атомиздат, 1980.
18. Камнев В.Е., Черкасов В.В., Чечин Г.В. Спутниковые сети связи. –
М.: Альпина – Паблишер, 2004.
19. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое при-
менение. – М.: Вильямс, 2007.
20. Теория управления (дополнительные главы) / под ред. Д.А. Новико-
ва. – М.: ЛЕНАНД, 2019.
21. Николлс Дж., Мартин А.Р., Валлас Б.Дж., Фукс П.А. От нейрона
к мозгу. – М.: Издательство ЛКИ, 2008.
14 Случайные процессы в случайных средах
22. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастиче-
ских системах. – М.: Физматлит, 2007.
23. Антомонов Ю.Г. Моделирование биологических систем. – Киев:
Наукова думка, 1977.
24. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое
моделирование в биофизике. – Москва – Ижевск: Институт компью-
терных исследований, 2004.
25. Кулаичев А.П. Компьютерная электрофизиология и функциональная
диагностика. – М.: Форум: Инфра – М; 2007.
26. Компьютер и мозг. Новые технологии. – М.: Наука, 2005.
27. Рангайян Р.М. Анализ биомедицинских сигналов. Практический
подход. – М.: Физматлит, 2007.
28. Cox D.R. Some statistical models related with series of events // J. Roy.
Statist. Soc. 1955. V. 17. P. 129 – 164.
29. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes. – Berlin: Springer –
Verlag, 1976.
30. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. – М.: Мир, 1970.
31. Гудмен Дж. Статистическая оптика. – М.: Мир, 1988.
32. Мандель Д., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая опти-
ка. – М.: Физматлит, 2000.
33. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей
событий. – М.: Мир, 1969.
34. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. – М.: МЦНМО, 2007.
35. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы
теории риска. – М.: Физматлит, 2011.
36. Афанасьев В.И. Случайные блуждания и ветвящиеся процессы
в случайной среде. – Дис. д-ра физ.-мат. наук. – М.: МГУ, 2000.
37. Ватутин В.А., Дьякова Е.Е. Критические ветвящиеся процессы в слу-
чайной среде // Дискретная математика, 1997. Т. 9. № 4. С. 100–126.
38. Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments:
Extinction probabilities // Ann. Math. Statist. 1971. V. 42. № 5.
P. 1499–1520.
39. Дьякова Е.Е. Предельные теоремы для ветвящихся процессов в слу-
чайной среде. – Дис. д-ра физ.-мат. наук. – М.: МГУ, 2013.
40. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структу-
рой. – М.: Наука, 1977.
ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ,
КЛАССИФИКАЦИЯ
И ОБЩИЕ СВОЙСТВА
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
• Общее определение и классификация случайных
функций
• Вероятностное описание и основные характеристики
• Свойства стационарности и однородности
• Спектрально-корреляционные характеристики
процессов
• Непрерывность и дифференцируемость случайных
функций
Исследования вероятностной структуры случайных функций, как
правило, всегда связаны с некоторой предварительной классификацией
рассматриваемых процессов, выделением основных, общих свойств, вы-
бором методов описания и необходимой полноты анализа, и только после
этого – непосредственным исследованиям вероятностной структуры из-
учаемых процессов.
С учетом этих особенностей в данной главе приводится общее опре-
деление случайных функций и на его основе показываются возможно-
сти предварительной общей классификации вероятностных моделей.
При этом выделяются самостоятельные классы случайных последователь-
ностей, случайных непрерывных процессов, случайных точечных про-
цессов и случайных пространственно-временных полей. Показываются
особенности вероятностного описания случайных функций на основе
конечномерных распределений и приводится определение основных,
наиболее распространенных на практике числовых вероятностных харак-
теристик. Кратко рассматриваются спектрально-корреляционные харак-
теристики случайных процессов, выделяются свойства стационарности
и однородности, свойства непрерывности и дифференцируемости выбо-
рочных функций.
Следует подчеркнуть, что по своему содержанию данная глава носит
вводный характер. Основное внимание здесь уделяется лишь тем резуль-
татам, которые существенно влияют на выбор методов вероятностного ис-
следования случайных процессов и которые непосредственно использу-
ются при изложении материала последующих глав.
16 Случайные процессы в случайных средах
1.1. Общая классификация случайных функций
Разнообразие практических задач в физических, технических и естествен-
но-научных приложениях всегда приводит к необходимости исследования
разнообразных явлений, процессов или систем. Различия здесь могут быть
связаны с физической природой изучаемых процессов, их вероятностной
структурой, особенностями построения вероятностных моделей и обла-
стью практического использования результатов.
При наиболее общем подходе случайная функция формально опреде-
ляется как семейство случайных переменных:
{ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S},
в котором s – параметр, X – пространство состояний переменной ξ,
S – множество возможных значений параметра s. Если из рассматривае-
мого семейства {ξ(s)} выбрать лишь одну функцию ξ(s), то такую функцию
ξ(s) принято называть выборочной функцией, или отдельной реализацией.
Классификация случайных функций, как и любая классификация,
существенно зависит от целей и содержания решаемых задач. Она мо-
жет выполняться различными способами и по самым различным при-
знакам. На предварительных этапах вероятностного анализа за основу
классификации удобно взять общее определение случайной функции
{ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S} и путем конкретизации множеств X и S разделить все
многообразие функций {ξ(s)} на самостоятельные классы [19, 59, 69]
(схема 1.1.1).
Разделение случайных функций {ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S } по виду
пространства состояний X и виду параметрического множества S сра-
зу же разделяет эти функции и по характерному виду их реализаций ξ(s).
В задачах обработки и анализа информации такое деление необходимо,
так как от вида выборочных функций существенно зависят и сами методы
исследования их структуры.
Выделим здесь особенности нескольких основных классов случайных
функций, задачи исследования которых наиболее часто возникают в прак-
тических приложениях.
1. Случайные последовательности и временные ряды
Предположим, что в общем определении случайной функции
{ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S} пространство состояний X является непрерыв-
ным скалярным множеством, параметр s представляет собой время,
а параметрическое множество S – дискретное, то есть s = t – время и
S = T = {tn, n = 0, 1, 2, ...}. Для случайной функции удобно при этом исполь-
зовать обозначение {ξ(s)} = {ξ(tn)} = {ξn}, где n = 0, 1, 2, ... . Называется та-
кая функция непрерывной случайной последовательностью. В некоторых
задачах ее называют также временным рядом или непрерывным случай-
Глава 1. Определение, классификация и общие свойства случайных процессов 17
ным процессом с дискретным временем. Обычно в данном определении
считается, что t0 < t1 < t2 < ... и Δt = ti – ti–1 = const при любых i = 1, 2, ..., m.
Если предположить здесь, что пространство состояний X не непрерывное,
а дискретное множество, то функция {ξn} будет называться дис-
кретной случайной последовательностью.
В более общей ситуации можно рассматривать векторную последова-
тельность {ξn} = {ξ1n, ξ2n, ..., ξqn}, каждая компонента которой ξjn, j = 1, 2, ..., q
сама является непрерывной или дискретной случайной функцией.
На практике обычно случайные последовательности можно интер-
претировать следующим образом [13, 109, 124]. При исследовании неко-
торой сложной динамической системы или при изучении протекающих
во времени процессов проводятся измерения какого-либо параметра:
например, измеряется электрическое напряжение или электрический
ток, температура, давление, значение биопотенциалов, значение скоро-
сти движения. Измерения проводятся в дискретные моменты времени
t1, t2, t3, ... через равные интервалы Dt. В результате таких измерений по-
лучается последовательность наблюдений ξ(t1), ξ(t2), ξ(t3), ... или, в более
простой форме записи ξ1, ξ2, ξ3, ... Если при этом измеряемый процесс
ξ(t) меняется непрерывно во времени, то получаемая последовательность
ξ1, ξ2, ξ3, ... относится к классу непрерывных случайных последователь-
ностей. Если же исследуемый параметр или процедура регистрации
имеет дискретный характер, то и случайная последовательность будет
относиться к классу дискретных.
В качестве примера на схеме 1.1.2 показаны экспериментальные ре-
зультаты нескольких различных по своему содержанию исследований.
При описании и построении математических моделей в задачах обра-
ботки и анализа данных все подобные результаты (независимо от физи-
ческой природы изучаемых процессов) могут рассматриваться на основе
теории случайных последовательностей или теории случайных временных
рядов.
2. Непрерывные случайные процессы
Если теперь предположить, что в общем определении случайной
функции {ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S} параметр s = t – время, а простран-
ство состояний X и параметрическое множество S = T являются непре-
рывными множествами, то полученная функция {ξ(t)} = {ξ(t), ξ ∈ X, t ∈ T}
будет соответствовать определению непрерывного случайного процесса.
Как правило, T представляет собой некоторый интервал временной оси,
то есть t ∈ [t0, t0 + T] = [0, T]. Значения случайных переменных ξ(t) мо-
гут быть при этом либо действительными (скалярными), либо комплекс-
ными, либо векторными. Соответственно, и исследуемые процессы {ξ(t)}
будут называться скалярными, комплексными или векторными случай-
ными процессами [19, 59, 69, 107].
Большинство исследуемых природных явлений и процессов в фи-
зических, технических и биологических системах относятся к про-
цессам, протекающим непрерывно во времени. Если такие про-
цессы наблюдаются (регистрируются) непрерывно на некотором
временном интервале [t0, t0 + T ] = [0, T ] длительностью T, то в ре-
зультате наблюдения получается реализация или траектория, или вы-
борочная функция ξ(t), t ∈ T исследуемого непрерывного процесса
{ξ(t), t ∈ T}.
Глава 1. Определение, классификация и общие свойства случайных процессов
20 Случайные процессы в случайных средах
Глава 1. Определение, классификация и общие свойства случайных процессов
22 Случайные процессы в случайных средах
3. Случайные точечные процессы и потоки событий
Формальное определение класса случайных точечных процессов
связано с рассмотрением случайных функций {ξ(s)} = {ξ(s), ξ ∈ X, s ∈ S},
в которых пространство состояний X – это некоторое дискретное то-
чечное множество – пространство случайно распределенных точек
[3, 59, 61, 168]. Обычно в практических задачах каждой точке ста-
вится в соответствие какое-либо событие, и тогда пространство X и
нтерпретируется как дискретное множество однородных событий. Если,
например, события происходят во времени, то параметр s = t, t ∈ T
и случайный процесс {ξ(t)} эквивалентен последовательности точек
{ tn, n = 1, 2, ...}, соответствующих случайным моментам t1, t2, t3, ... появле-
ния рассматриваемых событий. В зависимости от содержания решаемых
задач такие процессы часто относятся к классу случайных потоков одно-
родных (в смысле, одинаковых) событий. Во многих задачах [59, 126] опи-
сание последовательности событий { tn }, t1 < t2 < t3, ... может быть выполнено
и как описание целочисленного случайного процесса {n(t)}, характеризующего
число n(t) событий (точек) на текущем интервале времени [0, t ).
Содержательная интерпретация потоков событий в подобных моде-
лях может быть весьма разнообразна. Это могут быть, например, случай-
ные потоки однородных импульсов в радиолокационных системах, слу-
чайные потоки импульсов в нейронных сетях, случайные потоки отказов
в работе аппаратуры, потоки заявок в системах массового обслуживания,
потоки импульсных воздействий в системах управления. Все подобные
примеры относятся к исследованиям однородных событий, происходя-
щих последовательно одно за другим в некоторые случайные моменты
времени.
Модели точечных процессов допускают различные обобщения.
Так, например, случайное множество точек (событий) можно рассматри-
вать не только на временной оси [0, t), но и на плоскости (x, y) или в ка-
ком-либо пространстве (x, y, z). В зависимости от содержания решаемых
задач подобные модели могут рассматриваться как случайные точечные
процессы или, в более общей ситуации, как случайные точечные поля,
изменяющиеся и во времени, и в пространстве.
На схеме 1.1.5 показано несколько характерных примеров, относя-
щихся к исследованиям случайных потоков однородных событий.
4.