eng
Содержание
Предисловие.....................................................................................4
ГЛАВА 1.
Законы распределения и моментные функции..............................9
Задачи к главе 1..............................................................................21
ГЛАВА 2.
Преобразование Фурье..................................................................36
Задачи к главе 2..............................................................................56
ГЛАВА 3
Корреляционные функции и спектральные
плотности (энергетические спектры)
случайных процессов.....................................................................61
Задачи к главе 3..............................................................................72
ГЛАВА 4
Линейные и нелинейные преобразования
случайных величин........................................................................77
Задачи к главе 4..............................................................................93
Список литературы......................................................................140
ПРЕДИСЛОВИЕ
Однажды, будучи студентом, я получил предложение работать схемотехником на соседнем предприятии. Честно говоря, не раз замечал, как, случайно наткнувшись на более-менее сложную схемку из транзисторов, ощущал чуть ли не благоговейный трепет и жуткий интерес в ней разобраться (хотя при этом абсолютно не понимал, что вообще передо мной нарисовано). А незадолго до этого, перед сдачей экзамена, случайно увидел в кабинете одного преподавателя потертый внушительных размеров том «Основы теории транзисторов и транзисторных схем» И.П.Степаненко. И после этого меня спрашивают, хочу ли я работать схемотехником:
– А ты знаешь схемотехнику хоть как-нибудь? Может, опыт какой есть?
– Нет.
Оставалось только подписать направление у начальника. В кабинет меня привели со словами:
– Вот перспективный студент, средний балл равен 4.5, он хотел бы проходить практику на нашем выпускающем предприятии схемотехником.
– Давайте попробуем, но я не могу ни гарантировать, что вас возьмут, ни тем более звонить туда и содействовать этому.
Пришел на собеседование. Длилось оно недолго, его суть можно было свести лишь к одной фразе: «Ничего не умею, но хочу». Поставленная задача звучала коротко и просто: «Есть у нас изделие, в котором уже давно стоит генератор шума. Он работает, но никто толком не знает, как. Вот заодно и тема для бакалаврской будет. Вперед».
Как я «разбирался» с этой задачей – отдельная история. Но следующее задание было ещё веселее: «Есть генератор случайных чисел на шумовом диоде, который мы как-то заставили работать, но поставщик теперь предлагает другие диоды, и ты должен разобраться, подойдут ли они, и если да, то что нужно нам скорректировать в устройстве».
В общем, пошел туда, куда меня послали. В библиотеку.
Четырехтомник «Случайные процессы. Примеры и задачи»
В.И. Тихонова (и др.) я взял не раздумывая. Так же как и двух-
томник Б.И. Шахтарина «Случайные процессы в радиотехнике».
И ещё много других замечательных книг.
Каждый рабочий день последующих трёх месяцев прохо-
дил одинаково: вспоминал теорию функции комплексной пере-
менной, вспоминал, как брать производные и всевозможные
интегралы, вспоминал теорию вероятности. Решал всем знако-
мые задачки про подбрасывание монетки и разноцветные шары
в урне. Постепенно подобрался к критерию Пирсона, используя
который, другие сотрудники кое-как настроили работу схемы.
И понял, что решение здесь нельзя найти в принципе. Также я
понял, что на работе о моем существовании попросту забыли…
В паспорте на диод было всего два параметра, которые влия-
ли на параметр третий – параметр схемы. Их и нужно было пра-
вильно связать друг с другом. В «Случайных процессах» нашел
упоминание первых двух, в этом не было ничего сложного, про-
блема в другом – как они связаны с третьим? Этот вопрос пока
оставил в стороне, поскольку мне для понимания даже первых
двух параметров нужно было потренироваться на типовых за-
дачках. Решать задачи по случайным процессам было намного
тяжелее, чем по теории вероятности, некоторые не поддавались
в принципе, поэтому стал обращаться к репетиторам и не отста-
вал от них до тех пор, пока выбранная мной задача не становилась
понятна до конца. Ход решения при этом тщательно записывал.
С первыми двумя параметрами разобрался – а дальше что?
Нигде не было прямого упоминания о том, как они связаны
с третьим параметром. Бегло листая двухтомник «Случайные
процессы», ближе к его концу наткнулся на раздел «Выбросы
случайных процессов», в котором был приведен параметр, по-
хожий на тот, который нужен мне. Но проблема в том, что даже
в этом двухтомнике раздел про выбросы был написан настолько
кратко, что ничего, кроме понимания правильного направле-
ния поиска, не появилось. По списку литературы нашел книгу
В.И. Тихонова 1970-го года выпуска именно по этой теме. По-
скольку в электронном виде найти её не смог, то заказал почтой
Предисловие 5
Случайные процессы
на одном из букинистических сайтов, где частники размещают
объявления.
Был июль 2007 года, мы с родителями уже собирались в от-
пуск на дачу. Зашел к начальнику по поводу отъезда и, думая, что
заскочил на минутку, получил:
– Надо подать тезисы на конференцию. Прямо сейчас.
– Единственное, что у меня сейчас есть, – это незакончен-
ный расчёт генератора случайных чисел. Который мало
того что недоделан, так я ещё и не уверен, прав ли я во-
обще.
– Именно для этого и организуются конференции. Просто
пишешь и докладываешь свои идеи как есть, правиль-
ные или нет, – коллеги поправят. До самого выступления
ещё больше месяца, а в тезисах так и пиши: «Получен
предварительный результат… требуется проверка… это не
само решение, а подготовка к нему…»
Книга пришла незадолго до отъезда. Но сначала это не по-
могло. Да, я нашел в ней нужный раздел, но связать всё воедино
не получалось. Шли дни, а я так и не знал, как найти решение.
Беспокойство нарастало – что докладывать? Что я попытался
чего-то там такое решить и не решил? Я бродил по дому, пере-
бирая на память всё, в чем смог разобраться. Деревянные стены
уныло смотрели на меня, а я упорно цеплялся взглядом за мел-
кие детали, как будто ответ был именно в них. Пасмурная пого-
да приближающейся осени и загородная тишина давили на меня
и подстегивали одновременно. Эту страницу я прочитал не раз.
В какой-то момент провокационная мысль «что, если?...» прон-
зила, подбросив меня на месте. Огрызком карандаша в тетрадке,
которая оставалась не до конца исписанной ещё со школы и ко-
торую я закинул в сумку перед отъездом по принципу «вроде есть
на чем писать, сойдет и так», бросился делать расчёт уже с начала
и до самого конца. Подставив в конечное выражение значения
тех самых двух параметров, получил значение третьего параметра,
который мне дали на работе в качестве отправной точки для са-
мопроверки. Всё. До конца отпуска оставалось несколько дней…
Но я же не математик! И никогда им не был! Может, я при-
думал очередную чушь, за которую меня люди, хоть немного
6
сведущие в случайных процессах, размажут на докладе?! Пошел на кафедру высшей математики, спросил, с кем можно проконсультироваться по случайным процессам, т.к. у меня есть решение одной задачи и я хотел бы, чтобы меня проверили. Нашел нужного преподавателя, отдал ему расчёт, спросил, когда можно подойти за результатом. Через неделю пришел и
получил:
– Ну, вот здесь, в начале, есть несколько сомнительных моментов, это опустим, а вот здесь, – и при этом показывает на отправное выражение для связки трех параметров, – вы хотите сказать, что вероятность появления случайной величины будет равняться 100%?
– Так ведь это классическое условие нормировки.
– Вы хотите сказать, что случайная величина в указанном диапазоне появится с вероятностью 100%? Это же случайная величина! Такое вообще возможно?!
С этими словами он сунул мне изрядно помятые листы с расчётами, и в довольно резкой форме мы попрощались.
Ладно, думаю, на конференции мне хоть что-нибудь да скажут.
Пока я докладывал, один из членов комиссии задумчиво смотрел на график в презентации, как будто пытался там что-то отыскать.
– Таким образом, можно утверждать, что в шумовом сигнале всегда присутствуют точки, статистически независимые друг от друга, следующие друг за другом с опредёленной частотой повторения. Если делать выборку именно с этой частотой, то полученные числа будут абсолютно случайными.
Когда я замолчал, то в помещении повисла длинная пауза: народу было мало, большую часть составляли такие же студенты, как и я, но один из них всё же робко спросил:
– То есть полученные числа будут абсолютно случайны?
– Да.
Председатель комиссии спросил:
– Вы патентовали это решение?
– Нет.
7
Предисловие
Случайные процессы
– Вам следует об этом подумать.
С тех пор прошло 15 лет. Интерес к небольшой задаче, кото-
рую автор тогда не смог решить правильно потому, что вовремя
не перевернул страницу учебника, привел к решению новому,
легшему в основу докторской диссертации, работа над которой
продолжается уже 15 лет. Почему автор так долго переворачива-
ет страницы? Да потому, что читать подобные учебники крайне
тяжело. Приходится просто «вгрызаться» в каждый абзац и об-
ращаться ко многим дополнительным источниками для того,
чтобы шаг за шагом прорываться сквозь тьму жутких формул
навстречу своей мечте. Ну а чтобы достигнутые успехи не забы-
вались, все ходы были тщательно записаны. Так получилось на-
стоящее учебное пособие.
Автор ни в коем случае не претендует на новизну тех поло-
жений теории случайных процессов и сформулированных задач,
которые приведены в учебном пособии. Конечно же, всё это из-
вестно давно: ссылки на заимствованные источники приведены
в конце книги. Дело в другом – в авторском видении подхода
к порядку изложения материала и, что самое главное, в автор-
ской манере решения стандартных задач.
Теоретические части преимущественно представляют со-
бой цитирование источников в том объеме, который достато-
чен для понимания хода решения задач, – для этого они были
снабжены комментариями. Но главной целью пособия является
именно подробный разбор задач по случайным процессам. На-
столько подробный, что – автор искренне надеется – читатель
сможет освоить этот объем информации не за полгода неравной
битвы с формулами (как было с автором), а за одну-две недели
приятного, ненавязчивого чтения за чашечкой кофе. И сможет
намного легче и быстрее получить новые и интересные решения
в области теории случайных процессов.
Однажды, будучи студентом, я получил предложение работать схемотехником на соседнем предприятии. Честно говоря, не раз замечал, как, случайно наткнувшись на более-менее сложную схемку из транзисторов, ощущал чуть ли не благоговейный трепет и жуткий интерес в ней разобраться (хотя при этом абсолютно не понимал, что вообще передо мной нарисовано). А незадолго до этого, перед сдачей экзамена, случайно увидел в кабинете одного преподавателя потертый внушительных размеров том «Основы теории транзисторов и транзисторных схем» И.П.Степаненко. И после этого меня спрашивают, хочу ли я работать схемотехником:
– А ты знаешь схемотехнику хоть как-нибудь? Может, опыт какой есть?
– Нет.
Оставалось только подписать направление у начальника. В кабинет меня привели со словами:
– Вот перспективный студент, средний балл равен 4.5, он хотел бы проходить практику на нашем выпускающем предприятии схемотехником.
– Давайте попробуем, но я не могу ни гарантировать, что вас возьмут, ни тем более звонить туда и содействовать этому.
Пришел на собеседование. Длилось оно недолго, его суть можно было свести лишь к одной фразе: «Ничего не умею, но хочу». Поставленная задача звучала коротко и просто: «Есть у нас изделие, в котором уже давно стоит генератор шума. Он работает, но никто толком не знает, как. Вот заодно и тема для бакалаврской будет. Вперед».
Как я «разбирался» с этой задачей – отдельная история. Но следующее задание было ещё веселее: «Есть генератор случайных чисел на шумовом диоде, который мы как-то заставили работать, но поставщик теперь предлагает другие диоды, и ты должен разобраться, подойдут ли они, и если да, то что нужно нам скорректировать в устройстве».
В общем, пошел туда, куда меня послали. В библиотеку.
Четырехтомник «Случайные процессы. Примеры и задачи»
В.И. Тихонова (и др.) я взял не раздумывая. Так же как и двух-
томник Б.И. Шахтарина «Случайные процессы в радиотехнике».
И ещё много других замечательных книг.
Каждый рабочий день последующих трёх месяцев прохо-
дил одинаково: вспоминал теорию функции комплексной пере-
менной, вспоминал, как брать производные и всевозможные
интегралы, вспоминал теорию вероятности. Решал всем знако-
мые задачки про подбрасывание монетки и разноцветные шары
в урне. Постепенно подобрался к критерию Пирсона, используя
который, другие сотрудники кое-как настроили работу схемы.
И понял, что решение здесь нельзя найти в принципе. Также я
понял, что на работе о моем существовании попросту забыли…
В паспорте на диод было всего два параметра, которые влия-
ли на параметр третий – параметр схемы. Их и нужно было пра-
вильно связать друг с другом. В «Случайных процессах» нашел
упоминание первых двух, в этом не было ничего сложного, про-
блема в другом – как они связаны с третьим? Этот вопрос пока
оставил в стороне, поскольку мне для понимания даже первых
двух параметров нужно было потренироваться на типовых за-
дачках. Решать задачи по случайным процессам было намного
тяжелее, чем по теории вероятности, некоторые не поддавались
в принципе, поэтому стал обращаться к репетиторам и не отста-
вал от них до тех пор, пока выбранная мной задача не становилась
понятна до конца. Ход решения при этом тщательно записывал.
С первыми двумя параметрами разобрался – а дальше что?
Нигде не было прямого упоминания о том, как они связаны
с третьим параметром. Бегло листая двухтомник «Случайные
процессы», ближе к его концу наткнулся на раздел «Выбросы
случайных процессов», в котором был приведен параметр, по-
хожий на тот, который нужен мне. Но проблема в том, что даже
в этом двухтомнике раздел про выбросы был написан настолько
кратко, что ничего, кроме понимания правильного направле-
ния поиска, не появилось. По списку литературы нашел книгу
В.И. Тихонова 1970-го года выпуска именно по этой теме. По-
скольку в электронном виде найти её не смог, то заказал почтой
Предисловие 5
Случайные процессы
на одном из букинистических сайтов, где частники размещают
объявления.
Был июль 2007 года, мы с родителями уже собирались в от-
пуск на дачу. Зашел к начальнику по поводу отъезда и, думая, что
заскочил на минутку, получил:
– Надо подать тезисы на конференцию. Прямо сейчас.
– Единственное, что у меня сейчас есть, – это незакончен-
ный расчёт генератора случайных чисел. Который мало
того что недоделан, так я ещё и не уверен, прав ли я во-
обще.
– Именно для этого и организуются конференции. Просто
пишешь и докладываешь свои идеи как есть, правиль-
ные или нет, – коллеги поправят. До самого выступления
ещё больше месяца, а в тезисах так и пиши: «Получен
предварительный результат… требуется проверка… это не
само решение, а подготовка к нему…»
Книга пришла незадолго до отъезда. Но сначала это не по-
могло. Да, я нашел в ней нужный раздел, но связать всё воедино
не получалось. Шли дни, а я так и не знал, как найти решение.
Беспокойство нарастало – что докладывать? Что я попытался
чего-то там такое решить и не решил? Я бродил по дому, пере-
бирая на память всё, в чем смог разобраться. Деревянные стены
уныло смотрели на меня, а я упорно цеплялся взглядом за мел-
кие детали, как будто ответ был именно в них. Пасмурная пого-
да приближающейся осени и загородная тишина давили на меня
и подстегивали одновременно. Эту страницу я прочитал не раз.
В какой-то момент провокационная мысль «что, если?...» прон-
зила, подбросив меня на месте. Огрызком карандаша в тетрадке,
которая оставалась не до конца исписанной ещё со школы и ко-
торую я закинул в сумку перед отъездом по принципу «вроде есть
на чем писать, сойдет и так», бросился делать расчёт уже с начала
и до самого конца. Подставив в конечное выражение значения
тех самых двух параметров, получил значение третьего параметра,
который мне дали на работе в качестве отправной точки для са-
мопроверки. Всё. До конца отпуска оставалось несколько дней…
Но я же не математик! И никогда им не был! Может, я при-
думал очередную чушь, за которую меня люди, хоть немного
6
сведущие в случайных процессах, размажут на докладе?! Пошел на кафедру высшей математики, спросил, с кем можно проконсультироваться по случайным процессам, т.к. у меня есть решение одной задачи и я хотел бы, чтобы меня проверили. Нашел нужного преподавателя, отдал ему расчёт, спросил, когда можно подойти за результатом. Через неделю пришел и
получил:
– Ну, вот здесь, в начале, есть несколько сомнительных моментов, это опустим, а вот здесь, – и при этом показывает на отправное выражение для связки трех параметров, – вы хотите сказать, что вероятность появления случайной величины будет равняться 100%?
– Так ведь это классическое условие нормировки.
– Вы хотите сказать, что случайная величина в указанном диапазоне появится с вероятностью 100%? Это же случайная величина! Такое вообще возможно?!
С этими словами он сунул мне изрядно помятые листы с расчётами, и в довольно резкой форме мы попрощались.
Ладно, думаю, на конференции мне хоть что-нибудь да скажут.
Пока я докладывал, один из членов комиссии задумчиво смотрел на график в презентации, как будто пытался там что-то отыскать.
– Таким образом, можно утверждать, что в шумовом сигнале всегда присутствуют точки, статистически независимые друг от друга, следующие друг за другом с опредёленной частотой повторения. Если делать выборку именно с этой частотой, то полученные числа будут абсолютно случайными.
Когда я замолчал, то в помещении повисла длинная пауза: народу было мало, большую часть составляли такие же студенты, как и я, но один из них всё же робко спросил:
– То есть полученные числа будут абсолютно случайны?
– Да.
Председатель комиссии спросил:
– Вы патентовали это решение?
– Нет.
7
Предисловие
Случайные процессы
– Вам следует об этом подумать.
С тех пор прошло 15 лет. Интерес к небольшой задаче, кото-
рую автор тогда не смог решить правильно потому, что вовремя
не перевернул страницу учебника, привел к решению новому,
легшему в основу докторской диссертации, работа над которой
продолжается уже 15 лет. Почему автор так долго переворачива-
ет страницы? Да потому, что читать подобные учебники крайне
тяжело. Приходится просто «вгрызаться» в каждый абзац и об-
ращаться ко многим дополнительным источниками для того,
чтобы шаг за шагом прорываться сквозь тьму жутких формул
навстречу своей мечте. Ну а чтобы достигнутые успехи не забы-
вались, все ходы были тщательно записаны. Так получилось на-
стоящее учебное пособие.
Автор ни в коем случае не претендует на новизну тех поло-
жений теории случайных процессов и сформулированных задач,
которые приведены в учебном пособии. Конечно же, всё это из-
вестно давно: ссылки на заимствованные источники приведены
в конце книги. Дело в другом – в авторском видении подхода
к порядку изложения материала и, что самое главное, в автор-
ской манере решения стандартных задач.
Теоретические части преимущественно представляют со-
бой цитирование источников в том объеме, который достато-
чен для понимания хода решения задач, – для этого они были
снабжены комментариями. Но главной целью пособия является
именно подробный разбор задач по случайным процессам. На-
столько подробный, что – автор искренне надеется – читатель
сможет освоить этот объем информации не за полгода неравной
битвы с формулами (как было с автором), а за одну-две недели
приятного, ненавязчивого чтения за чашечкой кофе. И сможет
намного легче и быстрее получить новые и интересные решения
в области теории случайных процессов.