eng
Содержание
Предисловие профессора С.П. Кулика............................................................................ 13
ЧАСТЬ I.
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ
Введение..................................................................................................................... 17
ГЛАВА 1.
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И РАЗВИТИЕ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ................................................................... 31
1.1.
Менделеев, рождение квантовой механики и оценка
требований к квантовым компьютерам................................................................. 31
1.2.
Закон Мура и развитие информационных технологий........................................ 38
1.3.
Блеск и нищета современной физики................................................................... 40
1.4.
Алгоритм Шора и некоторые другие квантовые алгоритмы................................ 41
1.5.
Кубит vs бит (логический анализ).......................................................................... 44
1.6.
Представление состояния кубита на сфере Блоха................................................ 47
1.7.
Квантовое измерение и квантовый скачок........................................................... 49
1.8.
Системы кубитов и квантовая запутанность......................................................... 50
1.9.
Общие требования, необходимые для реализации квантовых компьютеров...... 54
Выводы к главе 1............................................................................................................... 56
ГЛАВА 2.
ТРИ КИТА, НА КОТОРЫХ ДЕРЖИТСЯ МИР КВАНТОВЫХ ЯВЛЕНИЙ................ 58
2.1.
Объективная случайность...................................................................................... 59
2.2.
Принцип дополнительности.................................................................................. 63
2.3.
Квантовая запутанность, разложение Шмидта и
формализм матрицы плотности............................................................................. 66
Выводы к главе 2............................................................................................................... 70
ГЛАВА 3.
ВЗАИМНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КООРДИНАТНОЕ И
ИМПУЛЬСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ......................... 71
3.1.
Статистическая интерпретация прямого и обратного преобразований
Фурье. Координатное и импульсное распределения............................................ 71
3.2.
Принцип дополнительности Н. Бора по отношению
к координатному и импульсному распределениям............................................... 73
3.3.
Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики................................. 75
3.4.
Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном
представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения................... 78
3.5.
Взаимно-дополнительные распределения в опыте Юнга.................................... 79
Выводы к главе 3............................................................................................................... 81
Приложение. Дельта-функция и её свойства.................................................................... 82
ГЛАВА 4.
ТОЧНОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
В КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКЕ............................................................................ 84
4.1.
Неравенство Коши – Буняковского для векторов состояния и его
статистическая интерпретация.............................................................................. 84
4.2.
Неравенство Коши – Буняковского в приложении
к случайным величинам......................................................................................... 86
4.3.
Соотношение неопределённостей Гейзенберга для координаты и импульса...... 87
4.4.
Соотношение неопредёленностей Шрёдингера – Робертсона............................. 89
9
Содержание
4.5.
Многомерное соотношение неопределённостей..................................................91
4.6.
Информация Фишера............................................................................................93
4.7.
Неравенство Рао – Крамера...................................................................................93
4.8.
Многомерное неравенство Рао – Крамера и корневая оценка.............................96
Выводы к главе 4...............................................................................................................98
ГЛАВА 5.
ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ И
ШЕСТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА......................................................................... 99
5.1.
Постулаты квантовой информатики.....................................................................99
5.2.
Шестая проблема Гильберта.................................................................................106
5.3.
Обсуждение...........................................................................................................108
Выводы к главе 5.............................................................................................................109
ГЛАВА 6.
КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА..................................... 111
6.1.
Корневой подход к исследованию механических систем...................................112
6.2.
Иллюстрация квазиквантового метода моделирования.....................................117
Выводы к главе 6.............................................................................................................119
ГЛАВА 7.
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
ИНФОРМАТИКИ И ИХ СВОЙСТВА...................................................................... 121
7.1.
Квантовые биты....................................................................................................121
7.2.
Реализация произвольного состояния кубита посредством
унитарного поворота............................................................................................126
7.3.
Система кубитов...................................................................................................127
7.4.
Измерение кубитов...............................................................................................128
7.5.
Простейшие квантовые логические элементы....................................................129
7.6.
Преобразование Уолша – Адамара.......................................................................132
7.7.
Теорема о невозможности клонирования неизвестного
квантового состояния...........................................................................................132
7.8.
Состояния Белла..................................................................................................134
7.9.
Парадокс (эффект) Эйнштейна – Подольского – Розена...................................135
Выводы к главе 7.............................................................................................................136
ГЛАВА 8.
НЕРАВЕНСТВО БЕЛЛА И МЕХАНИСТИЧЕСКИЙ РЕАЛИЗМ.............................. 137
8.1.
О статистической природе неравенств Белла.....................................................137
8.2.
Неравенство Белла как мнимый парадокс между
статистикой и квантовой механикой...................................................................141
8.3.
Восстановление гипотетического совместного распределения
в задаче Белла: подход с использованием разложения
по сингулярным значениям.................................................................................143
8.4.
Связь между квазивероятностями и формализмом матрицы плотности:
томографическое описание квантовых состояний.............................................149
8.5.
Задача о существовании гипотетического совместного
распределения для несовместимых наблюдаемых
без использования неравенств. Модель Кошена – Шпеккера...........................153
8.6.
Трёхкубитовые квантовые состояния Гринбергера – Хорна – Цайлингера.......156
Выводы к главе 8.............................................................................................................159
ГЛАВА 9.
НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ............................. 161
9.1.
Сверхплотное кодирование.................................................................................161
10
Введение в квантовые информационные технологии
9.2.
Телепортация........................................................................................................ 163
9.3.
Квантовый параллелизм. Алгоритмы Дойча и Дойча – Джозсы........................ 165
9.4.
Квантовое преобразование Фурье....................................................................... 171
9.5.
Нахождение периода функции............................................................................ 174
9.6.
Факторизация чисел............................................................................................. 177
9.7.
Квантовая криптография..................................................................................... 180
9.8.
Алгоритм Гровера................................................................................................. 183
9.9.
Введение в квантовое исправление ошибок....................................................... 186
Выводы к главе 9............................................................................................................. 189
ГЛАВА 10.
НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ РЕАЛИЗАЦИИ КУБИТОВ..................................... 190
10.1.
Кубит на спиновом магнитном резонансе.......................................................... 191
10.2.
Поляризационный кубит..................................................................................... 196
10.2.1.
Спиральность электромагнитного поля............................................................. 196
10.2.2.
Когерентное состояние электромагнитного поля в резонаторе........................ 198
10.2.3.
Поляризационное преобразование, задаваемое оптической
фазовой пластинкой............................................................................................ 202
10.3.
Квантовые компьютеры на основе ионов в ловушках........................................ 203
10.3.1.
Ионы в ловушках................................................................................................. 204
10.3.2.
Взаимодействие иона в ловушке с электромагнитным полем.......................... 205
10.4.
Сверхпроводниковый кубит................................................................................ 211
10.4.1.
Эффект Джозефсона. Уравнения для джозефсоновского перехода.................. 212
10.4.2.
Джозефсоновский переход под токовым смещением (управлением).
Уравнение маятника............................................................................................ 213
10.4.3.
Квантование квазимеханической системы........................................................ 216
10.4.4.
Фазовый кубит..................................................................................................... 217
10.4.5.
Измерение фазового кубита................................................................................ 218
10.4.6.
Взаимодействие кубитов..................................................................................... 219
10.5.
Кубиты на основе квантовых точек..................................................................... 220
10.5.1.
Квантовые точки в резонаторе............................................................................ 220
10.5.2.
Теория Флоке (квантовая точка в резонаторе на лазерных качелях)................ 223
10.5.3.
Квантовые преобразования................................................................................ 225
10.6.
Квантовый компьютер на NV-центрах в алмазе................................................. 227
Приложение. Описание поляризационных преобразований
в квантовой физике и классической поляризационной оптике................................... 228
Выводы к главе 10........................................................................................................... 230
ЧАСТЬ II.
АНАЛИЗ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ГЛАВА 11.
КОРНЕВАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ.......................................................................233
11.1.
Метод максимального правдоподобия и информационная
матрица Фишера................................................................................................... 234
11.2.
Корневой подход к оцениванию плотности. Пси-функция и
уравнение правдоподобия.................................................................................... 237
11.3.
Статистические свойства корневых оценок........................................................ 239
11.4.
Некоторые наборы базисных состояний............................................................. 241
11.5.
Набор плотностей распределений, обобщающий гауссово распределение....... 244
11.6.
Аппроксимация распределений с тяжёлыми хвостами.
Волновая функция, приводящая к распределениям
Пирсона IV типа и базисный набор на её основе................................................ 255
Выводы к главе 11........................................................................................................... 264
11
ГЛАВА 12.
УНИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТОМОГРАФИИ,
ОСНОВАННЫЙ НА ПРОЦЕДУРЕ ОЧИЩЕНИЯ.................................................. 267
12.1.
Процедура очищения и алгоритм статистического
восстановления квантовых состояний................................................................ 268
12.2.
Точность восстановления квантовых состояний................................................ 272
12.3.
Примеры численного статистического моделирования..................................... 282
Выводы к главе 12........................................................................................................... 284
ГЛАВА 13.
КВАНТОВЫЕ ШУМЫ И КАЧЕСТВО КВАНТОВЫХ ОПЕРАЦИЙ......................... 285
13.1.
Квантовые операции и квантовые шумы............................................................ 287
13.2.
Амплитудная и фазовая релаксация состояний кубитов.................................... 296
13.3.
Математическое моделирование квантовых операций...................................... 302
13.4.
Динамика запутанности в квантовых операциях................................................ 312
Выводы к главе 13........................................................................................................... 318
ГЛАВА 14.
ТОМОГРАФИЯ ОПТИЧЕСКИХ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ............................... 319
14.1.
Основные принципы томографии оптических квантовых состояний.............. 319
14.2.
Базисный набор функций и примеры его использования.................................. 322
14.3.
Реконструкция квантового состояния и информация, содержащаяся
в квантовых измерениях....................................................................................... 327
14.4.
Критерий адекватности томографического эксперимента................................ 329
Выводы к главе 14........................................................................................................... 330
Приложение. Описание поляризационных преобразований
в квантовой физике и классической поляризационной оптике................................... 331
ГЛАВА 15.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ КВАНТОВЫХ
СОСТОЯНИЙ НА ОСНОВЕ ВЗАИМНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
КВАДРАТУРНЫХ КВАНТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ..................................................... 345
15.1.
Измерение квадратурной наблюдаемой.............................................................. 346
15.2.
Статистическое восстановление квантовых состояний..................................... 348
15.3.
Примеры численных экспериментов.................................................................. 351
Выводы к главе 15........................................................................................................... 355
Приложение. Дробное преобразование Фурье............................................................... 355
ГЛАВА 16.
ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИКИ ФОТОНОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПАУНД-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПУАССОНА И КВАДРАТУРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.................................................... 359
16.1.
Введение............................................................................................................... 359
16.2.
Производящие функции, статистика фотонов и корреляции............................ 361
16.3.
Условные распределения, отвечающие вычитанию (отщеплению)
фотонов................................................................................................................. 366
16.4.
Квадратурные распределения.............................................................................. 369
16.5.
Делитель пучка: перевод одномерного распределения
в двумерное распределение, корреляция каналов.............................................. 375
16.6.
Многоуровневая иерархия компаунд- распределений Пуассона....................... 377
16.7.
Сжатый вакуум: производящие и корреляционные функции........................... 380
16.8.
Некоторые дополнительные свойства производящих функций и
распределений...................................................................................................... 381
Выводы к главе 16........................................................................................................... 383
Содержание
12
Введение в квантовые информационные технологии
ГЛАВА 17.
ТОМОГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ
КВАНТОВЫХ СИСТЕМ.......................................................................................... 384
17.1.
Описание метода.................................................................................................. 386
17.2.
Примеры применения метода.............................................................................. 390
Выводы к главе 17........................................................................................................... 396
Приложение. Диффузионный метод Монте-Карло моделирования
квантовых систем............................................................................................................ 397
ГЛАВА 18.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
МЕТОДАМИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ..................................................................... 401
18.1.
Представление классических динамических систем на языке
квантовых статистических ансамблей................................................................. 402
18.2.
Описание на основе формализма Гамильтона – Якоби...................................... 405
18.3.
Показатели Ляпунова для систем Лоренца и Рёсслера....................................... 410
Выводы к главе 18........................................................................................................... 413
ГЛАВА 19.
РАЗЛОЖЕНИЕ ШМИДТА И АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ................................................................................................. 415
19.1.
SVD-разложение и моды Шмидта...................................................................... 415
19.2.
Гауссовы корреляции. Коэффициент корреляции Шмидта.............................. 416
19.3.
Термодинамическая интерпретация................................................................... 418
19.4.
Сравнение результатов аналитических и численных расчётов......................... 420
19.5.
Число Шмидта и коэффициент корреляции..................................................... 421
Выводы к главе 19.......................................................................................................... 424
Приложение 1. Физическая реализация запутанных состояний
посредством двух связанных гармонических осцилляторов........................................ 424
Приложение 2. Вывод формулы для разложения Шмидта
в модели гауссовых корреляций.................................................................................... 425
Приложение 3. Вывод формулы для энтропии запутанности
в модели гауссовых корреляций.................................................................................... 426
ГЛАВА 20.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ «КОТОРЫЙ ПУТЬ» С МИКРОЧАСТИЦАМИ....................... 428
20.1.
Расширение квантовой системы путём добавления новой
переменной. Запутанность с окружением как средство ограничения
квантовой суперпозиции..................................................................................... 431
20.2.
Моды Шмидта...................................................................................................... 434
20.3.
Дифракция на экране с произвольным числом щелей....................................... 436
20.4.
Информационные аспекты задачи дифракции.................................................. 437
20.5.
Моделирование потери когерентности посредством запутанности
со вспомогательной квантовой системой (анциллой)........................................ 439
20.6.
Видность интерференционной картины и когерентность
состояний окружения........................................................................................... 442
20.7.
Реализация запутывания между различными степенями свободы.................... 443
20.7.1.
Поляроиды в щелях............................................................................................. 443
20.7.2.
Использование частотно-координатного запутывания.................................... 444
20.7.3.
Ридберговские атомы в резонаторах................................................................... 444
Выводы к главе 20........................................................................................................... 451
ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................................... 452
Предисловие профессора С.П. Кулика
С 90-х годов прошлого века активно развиваются квантовые информационные технологии, мотивируемые перспективой создания вычислительных устройств принципиально нового типа с характеристиками, которые недоступны классическим аналогам. В настоящее время в таких устройствах – квантовых компьютерах и симуляторах – уже продемонстрированы примеры их превосходства перед классическими компьютерами и появились первые коммерческие образцы квантовых вычислителей, но пока что с довольно ограниченными возможностями.
В представляемой читателям книге, рассчитанной на научных работников, а также аспирантов и студентов, наряду с традиционными методами квантовой информатики рассматривается и ряд новых подходов, основанных на оригинальных методах и разработках авторов. На мой взгляд, методы, представленные в книге, весьма интересны и полезны как с фундаментальной, так и с практической точек зрения. Этому во многом способствует её структура. В первой части представлены общие сведения, составляющие основу квантовой механики и теории информации, обычно читаемые в соответствующих разделах университетских курсов физики. Несомненный фундаментальный интерес представляет предложенный авторами во второй части книги симбиоз квантовых и статистических закономерностей, рассматриваемый в рамках так называемой шестой проблемы Гильберта, связанной с аксиоматизацией теории вероятностей. В изложении авторов основой для такой аксиоматизации, по существу, является математическая модель квантовой теории. Авторы обосновывают, что квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Важно, что квантовое состояние не может быть сведено к одному-единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно-дополнительных распределений. Квантовые измерения таких взаимно-дополнительных распределений лежат в основе методов томографии квантовых состояний и процессов, подробно рассматриваемых
в книге.
Согласно меткому афоризму Людвига Больцмана, «нет ничего практичнее, чем хорошая теория». Это целиком относится и к содержанию настоящей книги. Основываясь на глубоком развитии теории, авторы, являющиеся сотрудниками Физико-технологического института им. К.А. Валиева РАН, активно осуществляют разработку методов анализа квантовых систем и управления ими в задачах контроля качества, стабильности и надежности систем обработки квантовой информации. Разрабатываемые ими квантовые информационные технологии нацелены на решение проблем, связанных с квантовыми шумами и потерей когерентности квантовых состояний.
14 Введение в квантовые информационные технологии
В основе разрабатываемых авторами подходов лежит оригинальная идея,
связанная с анализом полноты, адекватности и точности реализации кван-
товых вентилей. В своих работах авторы показывают, что математическое
моделирование на базе компьютеров с учётом результатов технологических
и экспериментальных исследований позволяет дать исчерпывающую оценку
качества и эффективности проектируемых и создаваемых систем квантовой
обработки информации, а также сформулировать требования к эксперимен-
тальному оборудованию и технологии. Обращаю внимание, что излагаемые
в книге методы и подходы широко используются в проводимых в настоящее
время экспериментах по построению квантовых вычислительных устройств и
проверке основ квантовой теории. На мой взгляд, эта книга будет интересна
не только физикам, но и математикам, а также представителям других специ-
альностей, активно интересующимся развитием передовых научных направ-
лений и технологий.
Научный руководитель Центра квантовых технологий
физического факультета МГУ,
доктор физико-математических наук, профессор С.П. Кулик
ЧАСТЬ I.
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ
ИНФОРМАТИКИ
ВВЕДЕНИЕ
Век живи – век учись! И ты наконец достигнешь того, что,
подобно мудрецу, будешь иметь право сказать,
что ничего не знаешь.
Козьма Прутков
Инженерные приложения, возникшие на основе квантовой механики, привели во второй половине XX века к технологической революции, которую сейчас принято называть первой квантовой революцией. Эта технологическая революция привела к рождению ядерных технологий, а также созданию транзисторов, лазеров, компьютеров, мобильной связи, Интернета и многого другого, без чего невозможно представить нашу сегодняшнюю жизнь. Апогеем этой революции, на наш взгляд, стало присуждение Нобелевской премии по физике в 2000 году за создание основ современных IT-технологий российскому физику Ж. И. Алфёрову совместно с немецким физиком Г. Крёмером и американским учёным Д. Килби.
Сейчас мир стоит на пороге второй квантовой революции. Её ключевое отличие от первой квантовой революции состоит в том, что если раньше квантовая механика применялась только на уровне «железа» (hardware), то теперь, в эпоху второй квантовой революции, она оказывается в самой сердцевине компьютерной логики и программного обеспечения (software). Логика вычислительных устройств нового типа (квантовых компьютеров) базируется на применении фундаментальных принципов квантовой механики, таких как суперпозиция и запутанность квантовых состояний. Компьютеры, построенные на квантовых принципах, окажутся гораздо эффективнее своих классических собратьев в решении ряда практически важных классов задач в области физики, химии, материаловедения, фармацевтики, оптимальных методов управления, криптографии и др.
Квантовый компьютер представляет собой грандиозный проект, практическая выгода от которого для общества возможна только в долгосрочной перспективе [1]. Однако уже сейчас данное направление исследований признаётся обществом очень важным, о чём говорит присуждение Нобелевских премий по физике в 2012 и 2022 гг. В 2012 году Нобелевская премия по физике была присуждена французскому физику Сержу Арошу и американскому физику Дэвиду Вайнленду «за новаторские экспериментальные методы, позволяющие измерять и управлять отдельными квантовыми системами». В 2022 году Нобелевской премии по физике были удостоены Ален Аспе (Франция),
18 Введение в квантовые информационные технологии
Джон Ф. Клаузер (США) и Антон Цайлингер (Австрия) «за эксперименты
с запутанными фотонами, доказывающие нарушение неравенств Белла и пи-
онерские исследования в квантовой информатике».
Правительства многих стран, в том числе России, финансируют развитие
квантовой отрасли в рамках специальных дорожных карт по квантовым тех-
нологиям. Лидерами по государственной поддержке квантовой отрасли явля-
ются Китай, Европейский союз и США.
В 2019 году правительством РФ на госкорпорацию «Росатом» была возло-
жена ответственность за реализацию дорожной карты, направленной на раз-
витие высокотехнологичной области «Квантовые вычисления». Аналогичная
ответственность за развитие высокотехнологичной области «Квантовые ком-
муникации» была возложена на ОАО «РЖД».
Перспективность квантовых компьютеров обусловлена тем, что некото-
рые вычислительные задачи могут выполняться экспоненциально быстрее
на квантовом процессоре по сравнению с любым современным или перспек-
тивным классическим суперкомпьютером [2]. Следует отметить, что класс
задач, допускающих квантовое ускорение, весьма узок по сравнению с клас-
сом произвольных математических задач [3]. Фундаментальная проблема
заключается в создании высокопроизводительного процессора, способного
выполнять квантовые алгоритмы в экспоненциально большом вычислитель-
ном пространстве. В настоящее время предложены многие десятки различ-
ных физических платформ, на которых могут быть реализованы квантовые
вычисления. Среди наиболее перспективных платформ можно выделить
в том числе системы на основе ионов в ловушках [4–8], системы на основе
атомов в ловушках [9; 10], сверхпроводниковые процессоры [11–13] и фотон-
ные чипы [12].
В 2021 году исследователи из Университета Инсбрука представили де-
монстрационный образец для квантовых вычислений [5], который умеща-
ется в двух 19-дюймовых серверных стойках и представляет собой первый
в мире компактный квантовый компьютер с захваченными ионами, отвечаю-
щий высоким стандартам качества [5].
В январе 2019 года IBM представила новую систему IBM Q System One,
которая является первым коммерческим квантовым компьютером с 20 куби-
тами [11].
Осенью 2019 года группа учёных под руководством Джона Мартини-
са (J. Martinis) из компании Google заявила о достижении так называемо-
го квантового превосходства (quantum supremacy), которое было получено
с использованием квантового процессора Sycamore, состоящего из 53 кубит.
В статье [12], опубликованной в Nature в октябре 2019 года, утверждалось,
что процессор Sycamore выполнил за 200 секунд задание, на которое само-
му мощному на тот момент классическому суперкомпьютеру Summit потре-
бовалось бы 10 тысяч лет. Однако одновременно с публикацией результатов
Google специалисты компании IBM выступили с попыткой их опровержеВведение
19
ния, утверждая, что в такой вычислительной классической системе, как
Summit, рассматриваемая задача может быть решена всего 2,5 дня или даже
быстрее [14].
В декабре 2020 года группа китайских учёных из the University of Science
and Technology of China (USTC) с целью продемонстрировать квантовое пре-
восходство реализовала бозонные выборки на 76 фотонах с помощью фотон-
ного квантового компьютера Jiuzhang [15]. Авторы утверждают, что класси-
ческому современному суперкомпьютеру потребуется 600 миллионов лет
вычислительного времени, чтобы сгенерировать количество отсчётов, кото-
рое их квантовый процессор может сгенерировать за 20 секунд.
Несмотря на интенсивное развитие квантового компьютинга в течение
более тридцати лет, создание полномасштабного квантового компьютера всё
ещё остаётся недостижимой мечтой для современных технологий. Вместе
с тем исследования, выполненные в последние годы, показали, что квантовое
ускорение достижимо в реальной системе и не запрещено никакими скрыты-
ми физическими законами. Можно констатировать, что существенный про-
гресс в области экспериментальных и технологических исследований вселя-
ет реальную надежду на создание в среднесрочной перспективе квантовых
вычислительных устройств, способных решать практически важные задачи.
Достигнутый уровень квантовых информационных разработок провозгла-
шает новую эру NISQ- (Noisy Intermediate Scale Quantum) технологий. Та-
кие технологии сами по себе ещё до создания полномасштабных квантовых
компьютеров открывают новые довольно широкие вычислительные возмож-
ности, которые включают в себя методы оптимизации, машинное обуче-
ние, материаловедение, химию, а также ряд других научных и практических
областей.
Необходимо обеспечить непрерывное совершенствование NISQ-
технологий с тем, чтобы с течением времени открывались бы возможности
для решения всё более сложных задач. Для решения поставленных задач кри-
тически важно разработать систему непрерывного мониторинга и прогнози-
рования характеристик точности и эффективности квантовых информацион-
ных устройств в зависимости от степени их интеграции для вычислительных
задач различной сложности и для различных уровней декогерентизации и
квантовых шумов [16; 17].
Наряду с математическим моделированием квантовых операций и алго-
ритмов необходимо осуществлять их контроль в условиях реального экспери-
мента. Основным инструментом для этих целей служит томография кванто-
вых состояний и процессов [18–24], которая призвана обеспечить интерфейс
между разработкой элементной базы квантовых компьютеров и симуляторов
и её практическим воплощением. Методы численного анализа и статистиче-
ского моделирования с учётом влияния квантовых шумом, а также резуль-
татов технологических и экспериментальных исследований позволяют дать
исчерпывающую оценку качеству и эффективности проектируемых кван-
20 Введение в квантовые информационные технологии
товых регистров, сформулировать требования к экспериментальному обо-
рудованию и технологии; посредством обратной связи развиваемый подход
позволяет наилучшим образом распорядиться имеющимися ресурсами для
оптимизации процесса разработки квантовых информационных технологий.
Заметим, что наряду с томографией активно развиваются методы кван-
тового контроля, направленные на управление динамикой физических про-
цессов на атомном и молекулярном уровнях [25–28]. Это область науки
с многочисленными приложениями, начиная от селективных лазерно-инду-
цированных атомных и молекулярных возбуждений и заканчивая квантовы-
ми вычислениями и управлением химическими реакциями с помощью спе-
циально подобранных лазерных импульсов.
В России наиболее совершенным прототипом квантового процессора на
сегодня (август 2024 г.) является процессор на ионах в ловушках, реализован-
ный в ФИАН на 25 четырехуровневых кудитах (что эквивалентно степени
интеграции в 50 кубитов). Заметим, что кудиты представляют собой перспек-
тивную платформу для масштабируемых квантовых вычислений [29; 30]. Ак-
тивные работы в области элементной базы квантовых информационных тех-
нологий ведутся также в Российском квантовом центре, Центре квантовых
технологий МГУ, в МФТИ, МИСИС и ряде других организаций.
В 2022 году продемонстрирована технология массового производства
спиновых кубитов на кремниевых пластинах диаметром 300 мм с исполь-
зованием ультрафиолетовой 193-нм иммерсионной литографии (Intel) [31].
Эти достижения могут в недалёком будущем вывести кремниевую платформу
в число основных. В России конструкция квантового компьютера на осно-
ве квантовых точек в каналах полевых транзисторов в кремнии была пред-
ложена во ФТИАН им. К.А. Валиева ещё в конце 90-х гг. [32; 33]. В 1998 году
австралийский физик Б. Кейн (B.E. Kane) предложил использовать в каче-
стве кубита ядерный спин одиночного атома фосфора 31P, имплантирован-
ного в бесспиновый кремний 28Si. Очевидно, что это предложение содержит
синтез методов и материалов из магнитного резонанса и микроэлектроники.
В развитие идеи Кейна К.А. Валиев и А.А. Кокин в 1999 году предложили
строить кубит на ансамбле спинов атомов 31P в 28Si, т. е. использовать спины
многих атомов 31P, а не одного атома. Результаты исследований были обобще-
ны в монографии А.А. Кокина [34].
Другая перспективная твердотельная модель – это квантовые компью-
теры на электронных состояниях в квантовых точках в полупроводниковых
структурах. Преимущества этой схемы обусловлены высокой скоростью вы-
полнения логических операций, возможностью измерения состояний от-
дельных кубитов (благодаря более высокой интенсивности сигнала по срав-
нению с отдельными ядерными спинами), более простыми по сравнению
с ЯМР способами управления кубитами, а также тем, что рассматриваемые
устройства могут работать при более высоких температурах, чем твердотель-
ные ЯМР квантовые регистры. Трудности реализации рассматриваемой мо-
Введение 21
дели связаны с жесткими требованиями к технологии изготовления много-
кубитовых регистров, а также малыми временами релаксации электронных
состояний по сравнению с такими же временами для ядерных спинов.
Основой для рассматриваемой модели может служить зарядовый кубит
на сформированной в арсениде галлия квантовой точке, разделенной управ-
ляемым потенциальным барьером с одним электроном [35]. Проведённое
в работе Л.Е. Федичкина, М. Янченко и К.А. Валиева численное моделиро-
вание показало, что в рассматриваемом случае низкие температуры (~ 1 мК)
обеспечивают исходную инициализацию и требуемую когерентность. В каче-
стве логических состояний «ноль» и «единица» могут служить локализован-
ные состояния электрона в минимумах потенциала при достаточно большой
высоте потенциального барьера. Теоретический анализ доказал возможность
реализации в рассматриваемой модели квантовых однокубитовых, а также
двухкубитовых (например CNOT) операций.
В настоящее время исследования полупроводниковых систем кубитов
проводятся во ФТИАН им. К.А. Валиева и в Институте физики микрострук-
тур РАН.
В препринте [36], опубликованном в апреле 2023 большим авторским
коллективом исследователей Google (более 150 человек), говорится о созда-
нии квантового компьютера Google нового поколения, содержащего 70 ку-
битов. Новый процессор является непосредственным развитием процессора
Sycamore, созданного ещё в 2019 году. Утверждается, что новый квантовый
процессор способен за 6,7 секунд выполнить вычисления, на которые у са-
мого мощного на тот момент суперкомпьютера Frontier ушло бы 47 лет. Во-
прос о степени состоятельности претензий Google на достижение квантового
превосходства с помощью процессора Sycamore первого поколения оставался
актуальной темой научных дискуссий в течение нескольких лет [37]. По мне-
нию исследователей, сомнения о том, достиг ли процессор Google квантового
превосходства, теперь, после создания процессора Sycamore второго поколе-
ния, разрешены в пользу Google.
В 2023 году компания IBM выполнила исследование с использованием
«шумного» квантового процессора Eagle (127 кубит). В том же 2023 году груп-
па исследователей из IBM опубликовала в Nature статью, которая, по мне-
нию авторов, убедительно доказывает практическую полезность квантовых
вычислений [38]. Результаты выполненного эксперимента показывают, что
и до того, как будет обеспечена отказоустойчивость (fault tolerance) кван-
товых схем, полезные результаты можно получать на «шумном» квантовом
компьютере. Авторы отмечают, что квантовые вычисления обещают су-
щественно ускорить решение определённых задач по сравнению с их клас-
сическими «собратьями», однако самым большим препятствием на пути
полномасштабной реализации квантовых вычислений является шум, прису-
щий квантовым информационным системам. Стандартным решением этой
проблемы была бы реализация отказоустойчивых квантовых схем, однако
22 Введение в квантовые информационные технологии
это недостижимо для современного уровня технологии. В экспериментах
на шумном 127-кубитном
процессоре Eagle демонстрируется высокоточное
измерение средних значений (математических ожиданий) в задачах, масштаб
которых многократно превосходит возможности классических вычислений
методом «грубой силы». Авторы не используют методы коррекции ошибок
(error correction), требующие колоссального числа вспомогательных кубитов.
Вместо этого они используют методы «смягчения» ошибок (error-mitigation),
основанные на постобработке результатов квантовых измерений.
В рассмотренной авторами задаче, связанной с моделью Изинга, ради-
кальное преимущество квантового процессора по сравнению с классическим
относится к масштабу задачи: ни один классический компьютер не имеет
столько памяти, чтобы можно было бы закодировать результаты, отвечающие
возможностям 127-го регистра кубитов (заметим, что 2127 = 1.7e + 38).
Заметим также, что эксперимент проводился на 127-кубитном процес-
соре Eagle, а не на более новом процессоре компании Osprey с 433 кубита-
ми, представленном ещё в ноябре 2022 года. Основной причиной сделанно-
го IBM выбора в пользу менее масштабного процессора Eagle является то,
что он уже прошёл третью итерацию улучшений (Revision 3), в то время как
Osprey всё ещё находится на первой экспериментальной итерации. Осущест-
влённые на Eagle модификации привели к увеличению производительно-
сти процессора, а также к снижению уровня шума, что облегчило процедуру
error-mitigation. Важно также иметь в виду, что сама процедура error-mitigation
масштабируется экспоненциально с числом кубитов, поэтому имеющихся
в настоящее время суперкомпьютерных мощностей просто недостаточно для
реализации полномасштабной процедуры error-mitigation на квантовом про-
цессоре Osprey.
Заметим, что в январе 2024 г. в журнале PRX QUANTUM группа иссле-
дователей из США сообщила о точном и эффективном классическом моде-
лировании квантовой системы Изинга на решётке тяжёлых шестиугольни-
ков [39]. Моделирование как раз этой системы было выполнено в 2023 году
на 127-кубитном квантовом процессоре Eagle IBM с использованием ме-
тодов смягчения ошибок для повышения точности [38]. Авторы показали,
что, приняв подход тензорной сети, который отражает геометрию решётки,
можно выполнить классическое моделирование, которое значительно более
полное и точное, чем результаты, полученные с помощью квантового про-
цессора. Авторы также показывают, что их метод позволяет выполнять моде-
лирование системы на длительных временах в термодинамическом пределе,
соответствующем квантовому компьютеру с бесконечным числом кубитов.
По мнению авторов, их подход тензорных сетей имеет более широкое приме-
нение для моделирования динамики квантовых систем такого рода. На наш
взгляд, работы, подобные [39], свидетельствуют об активной разработке но-
вых классических методов и алгоритмов, само появление которых мотивиро-
вано развитием квантовых информационных технологий. Такое соперниче-
Введение 23
ство между классическими и квантовыми алгоритмами несёт несомненную
пользу для обеих отраслей.
О перспективных и неперспективных задачах для квантовых компью-
теров с точки зрения достижения квантового преимущества говорится
в статье [40], опубликованной в мае 2023 года в журнале Communication of
the ACM, представляющем ассоциацию вычислительной техники (ACMAssociation
for Computing Machinery). Отметим, что ACM – старейшая и са-
мая крупная международная организация в компьютерной области, которая
объединяет 83 000 специалистов. Авторы статьи (сотрудники Microsoft) ста-
вят своей целью отделение шумихи вокруг квантовых технологий от прак-
тических задач, в которых возможно реальное достижение квантового
преимущества (quantum advantage). По мнению авторов статьи, многие со-
временные квантовые алгоритмы могут так и не достичь практического
ускорения. В то же время материаловедение и химия имеют огромный по-
тенциал и можно надеяться, что будут изобретены практичные квантовые ал-
горитмы. Из-за ограничений входной и выходной пропускной способности
квантовые компьютеры будут практичны для задач big compute – больших
вычислений с небольшим количеством данных, но не для задач с большим
количеством данных – big data. Квадратичное ускорение, обеспечиваемое
такими алгоритмами, как алгоритм поиска Гровера, недостаточно для прак-
тического квантового преимущества без значительных улучшений всего
программно-аппаратного стека.
В рамках квантовых информационных технологий важное значение име-
ет задача целочисленной факторизации. Для решения данной задачи с помо-
щью стандартных квантовых вычислений используется алгоритм Шора [41].
Однако экспериментальная реализация алгоритма Шора в гейтовом кванто-
вом вычислителе – крайне непростая задача. Например, авторы известной
работы [42] использовали молекулу с семью ядрами со спином 1/2 для фак-
торизации числа 15. Но подобные эксперименты не могут быть применены
для факторизации больших чисел, что приводит к необходимости улучшения
данного алгоритма. Так, в работе [43] предлагается использовать реинициа-
лизируемые кубиты для реализации итеративной вариации алгоритма Шора.
Одним из наилучших результатов при использовании данного алгоритма
остаётся разложение чисел 51 и 85 с помощью квантовой схемы на восьми
кубитах [44]. В течение последних десятилетий было предпринято много по-
пыток реализовать гейтовый алгоритм Шора на различных квантовых вы-
числительных устройствах. Однако квантовые вычисления являются техно-
логией, которая только начинает своё развитие, и существующие квантовые
устройства всё ещё имеют ограниченные возможности и неспособны решать
сложные проблемы, такие как факторизация больших чисел, которые явля-
ются основой криптографических алгоритмов.
В настоящее время активно разрабатываются методы атак на криптогра-
фические алгоритмы, альтернативные подходам с использованием алгоритмов
24 Введение в квантовые информационные технологии
Шора и Гровера. Так, в конце 2022 года группой китайских учёных в препринте
[45] был представлен метод факторизации чисел, совмещающий классический
метод Шнорра [46; 47] и квантовый алгоритм QAOA (Quantum Approximate
Optimization Algorithm – квантовый алгоритм приближенной оптимизации).
Авторы работы утверждают, что разложили с использованием реальных кван-
товых вычислителей самое большое на данный момент 15-значное число
N = 261980999226229 = 15538213 ⋅ 16860433, а также делают оценку, что
с использованием предложенного метода RSA-2048 может быть взломан
на 372 физических кубитах. В связи с последним утверждением работа вы-
звала большой новостной резонанс [48; 49]. Однако профессиональное со-
общество отнеслось к данной работе скептически [50] и стали появляться ра-
боты с указанием конкретных [51] проблем в работе [45]. Сами оригинальные
работы Шнорра вызывают множество вопросов, а предложенный метод не
показал успешной работы на реальных задачах, предложенный же гибридный
метод с использованием алгоритма QAOA данных проблем не разрешает.
Отметим, что в методе Шнорра и соответствующем квантовом расши-
рении задача факторизации чисел сводится к минимизации, что и служит
поводом для использования квантовых вычислителей. Описанная работа
не является первой в данном направлении. Так, например, рассматривались
подходы с использованием квантовых адиабатических алгоритмов [52–54] и
вариационных квантовых алгоритмов [55; 56]. Помимо работы [45] есть и ряд
других работ с факторизацией различных чисел с использованием квантовых
вычислителей [57–60]. Так, в препринте [61] утверждается, что на 10 ионных
кубитах при помощи цифровизованного квантового контрадиабатического
алгоритма было разложено 48-битное число. Однако такие работы имеют ряд
типичных проблем: лишь часть расчётов производится при помощи кванто-
вых вычислителей, выбираются специальные удобные для алгоритмов числа,
представляются нереалистичные оценки масштабируемости. Также стоит от-
метить, что сама возможность получения квантового ускорения при помощи
подобных оптимизационных алгоритмов на данный момент остаётся откры-
тым вопросом.
В январе 2024 г. вышел довольно объёмный препринт (75 стр.), посвя-
щённый оценке преимуществ и рисков, связанных с квантовыми компью-
терами [62]. Работа написана сотрудниками IBM, NIST, Microsoft и ряда
других организаций США и Канады, специализирующихся на квантовых вы-
числениях и информационной безопасности. Авторы препринта отмечают,
что квантовые вычисления — это новая технология, имеющая потенциаль-
но далеко идущие последствия для национального процветания и безопас-
ности. Понимание временных рамок, в течение которых могут проявиться
экономические выгоды и риски национальной безопасности (в частности,
посредством криптоанализа), имеет жизненно важное значение для обеспе-
чения разумного развития этой технологии. Чтобы информировать экспер-
тов по безопасности и лиц, принимающих политические решения по этому
Введение 25
вопросу, авторы, используя имеющуюся на сегодня исследовательскую лите-
ратуру, рассматривают то, что в настоящее время известно о потенциальном
использовании и рисках квантовых компьютеров. Отмечается, что степень
зрелости доступных в настоящее время квантовых компьютеров ещё не до-
стигла такого уровня, чтобы их можно было использовать в производстве
для решения крупномасштабных, промышленно важных задач, и в насто-
ящее время считается, что квантовые компьютеры пока что не представля-
ют угрозу безопасности для классических информационных систем. Вместе
с тем можно выделить две крупномасштабные тенденции — разработку но-
вых приближенных методов (вариационные алгоритмы, смягчение ошибок
и объединение схем), а также коммерческие исследования квантовых прило-
жений, важных для бизнеса. Вместе эти две тенденции могут сделать возмож-
ными полезные и практичные квантовые вычисления в ближайшем будущем.
В то же самое время обсуждаемые новые приближенные методы вряд ли из-
менят необходимые ресурсы для криптоанализа, применяемые к используе-
мым в настоящее время криптосистемам. Анализ существующих и известных
алгоритмов криптоанализа показывает, что они требуют схем, размер которых
превышает те, которые могут быть реализованы современными квантовыми
компьютерами или квантовыми вычислителями, которые могут появиться
в обозримом будущем. Важно отметить, однако, что в литературе встречают-
ся улучшенные квантовые алгоритмы для такого рода задач. Кроме того, риск
для кибербезопасности можно эффективно контролировать за счёт перехода
на новые квантовобезопасные (постквантовые) криптографические прото-
колы. Таким образом, достоверно можно ожидать, что квантовые компью-
теры будут способны выполнять экономически выгодные вычисления, пре-
жде чем они станут пригодны для выполнения операций, которые являются
криптографически релевантными.
Среди новостей последнего времени в области квантовых информацион-
ных технологий отметим следующие.
В марте 2024 года Google совместно с XPRIZE и Женевским форумом
науки и дипломатии (Geneva Science and Diplomacy Anticipator – GESDA)
объявила о запуске трёхлетнего международного конкурса XPRIZE с бюдже-
том в 5 млн. долларов по применению квантовых вычислений для решения
прикладных задач [63]. Конкурс направлен на создание алгоритмов кванто-
вых вычислений, которые можно будет применить на практике (сегодня или
в будущем) для достижения общественно полезных целей, подобных тем, ко-
торые описаны в целях устойчивого развития Организации Объединенных
Наций. Инициаторы отмечают, что конкурс тесно связан со стремлением
квантовой команды Google создать крупномасштабный квантовый компью-
тер с исправлением ошибок и разработкой полезных приложений для кван-
товых вычислений. Таким образом, компания Google заявляет о поддержке
применения новых квантовых технологий для решения крупных задач, име-
ющих глобальный характер.
26 Введение в квантовые информационные технологии
Компания IBM анонсировала аппаратное и программное обеспече-
ние эпохи квантовой полезности, а также дорожную карту до 2033 года [64].
По мнению IBM, эксперимент, описанный ими в июне 2023 года в журнале
Nature [38], изменил существовавший до этого статус-кво. В [38] было проде-
монстрировано, что квантовые компьютеры могут управлять схемами, недо-
ступными для классического моделирования методом «грубой силы». Впер-
вые возникло аппаратное и программное обеспечение, способное выполнять
квантовые схемы без известного априорного ответа в масштабе порядка
100 кубитов и 3000 вентилей. Квантовый компьютер теперь, по мнению IBM,
является вычислительным инструментом, что открывает возможность раз-
вивать науку в областях, выходящих за рамки самих квантовых вычислений.
Из таких крупномасштабных экспериментов стало ясно, что нужно выйти
за рамки традиционных
С 90-х годов прошлого века активно развиваются квантовые информационные технологии, мотивируемые перспективой создания вычислительных устройств принципиально нового типа с характеристиками, которые недоступны классическим аналогам. В настоящее время в таких устройствах – квантовых компьютерах и симуляторах – уже продемонстрированы примеры их превосходства перед классическими компьютерами и появились первые коммерческие образцы квантовых вычислителей, но пока что с довольно ограниченными возможностями.
В представляемой читателям книге, рассчитанной на научных работников, а также аспирантов и студентов, наряду с традиционными методами квантовой информатики рассматривается и ряд новых подходов, основанных на оригинальных методах и разработках авторов. На мой взгляд, методы, представленные в книге, весьма интересны и полезны как с фундаментальной, так и с практической точек зрения. Этому во многом способствует её структура. В первой части представлены общие сведения, составляющие основу квантовой механики и теории информации, обычно читаемые в соответствующих разделах университетских курсов физики. Несомненный фундаментальный интерес представляет предложенный авторами во второй части книги симбиоз квантовых и статистических закономерностей, рассматриваемый в рамках так называемой шестой проблемы Гильберта, связанной с аксиоматизацией теории вероятностей. В изложении авторов основой для такой аксиоматизации, по существу, является математическая модель квантовой теории. Авторы обосновывают, что квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Важно, что квантовое состояние не может быть сведено к одному-единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно-дополнительных распределений. Квантовые измерения таких взаимно-дополнительных распределений лежат в основе методов томографии квантовых состояний и процессов, подробно рассматриваемых
в книге.
Согласно меткому афоризму Людвига Больцмана, «нет ничего практичнее, чем хорошая теория». Это целиком относится и к содержанию настоящей книги. Основываясь на глубоком развитии теории, авторы, являющиеся сотрудниками Физико-технологического института им. К.А. Валиева РАН, активно осуществляют разработку методов анализа квантовых систем и управления ими в задачах контроля качества, стабильности и надежности систем обработки квантовой информации. Разрабатываемые ими квантовые информационные технологии нацелены на решение проблем, связанных с квантовыми шумами и потерей когерентности квантовых состояний.
14 Введение в квантовые информационные технологии
В основе разрабатываемых авторами подходов лежит оригинальная идея,
связанная с анализом полноты, адекватности и точности реализации кван-
товых вентилей. В своих работах авторы показывают, что математическое
моделирование на базе компьютеров с учётом результатов технологических
и экспериментальных исследований позволяет дать исчерпывающую оценку
качества и эффективности проектируемых и создаваемых систем квантовой
обработки информации, а также сформулировать требования к эксперимен-
тальному оборудованию и технологии. Обращаю внимание, что излагаемые
в книге методы и подходы широко используются в проводимых в настоящее
время экспериментах по построению квантовых вычислительных устройств и
проверке основ квантовой теории. На мой взгляд, эта книга будет интересна
не только физикам, но и математикам, а также представителям других специ-
альностей, активно интересующимся развитием передовых научных направ-
лений и технологий.
Научный руководитель Центра квантовых технологий
физического факультета МГУ,
доктор физико-математических наук, профессор С.П. Кулик
ЧАСТЬ I.
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ
ИНФОРМАТИКИ
ВВЕДЕНИЕ
Век живи – век учись! И ты наконец достигнешь того, что,
подобно мудрецу, будешь иметь право сказать,
что ничего не знаешь.
Козьма Прутков
Инженерные приложения, возникшие на основе квантовой механики, привели во второй половине XX века к технологической революции, которую сейчас принято называть первой квантовой революцией. Эта технологическая революция привела к рождению ядерных технологий, а также созданию транзисторов, лазеров, компьютеров, мобильной связи, Интернета и многого другого, без чего невозможно представить нашу сегодняшнюю жизнь. Апогеем этой революции, на наш взгляд, стало присуждение Нобелевской премии по физике в 2000 году за создание основ современных IT-технологий российскому физику Ж. И. Алфёрову совместно с немецким физиком Г. Крёмером и американским учёным Д. Килби.
Сейчас мир стоит на пороге второй квантовой революции. Её ключевое отличие от первой квантовой революции состоит в том, что если раньше квантовая механика применялась только на уровне «железа» (hardware), то теперь, в эпоху второй квантовой революции, она оказывается в самой сердцевине компьютерной логики и программного обеспечения (software). Логика вычислительных устройств нового типа (квантовых компьютеров) базируется на применении фундаментальных принципов квантовой механики, таких как суперпозиция и запутанность квантовых состояний. Компьютеры, построенные на квантовых принципах, окажутся гораздо эффективнее своих классических собратьев в решении ряда практически важных классов задач в области физики, химии, материаловедения, фармацевтики, оптимальных методов управления, криптографии и др.
Квантовый компьютер представляет собой грандиозный проект, практическая выгода от которого для общества возможна только в долгосрочной перспективе [1]. Однако уже сейчас данное направление исследований признаётся обществом очень важным, о чём говорит присуждение Нобелевских премий по физике в 2012 и 2022 гг. В 2012 году Нобелевская премия по физике была присуждена французскому физику Сержу Арошу и американскому физику Дэвиду Вайнленду «за новаторские экспериментальные методы, позволяющие измерять и управлять отдельными квантовыми системами». В 2022 году Нобелевской премии по физике были удостоены Ален Аспе (Франция),
18 Введение в квантовые информационные технологии
Джон Ф. Клаузер (США) и Антон Цайлингер (Австрия) «за эксперименты
с запутанными фотонами, доказывающие нарушение неравенств Белла и пи-
онерские исследования в квантовой информатике».
Правительства многих стран, в том числе России, финансируют развитие
квантовой отрасли в рамках специальных дорожных карт по квантовым тех-
нологиям. Лидерами по государственной поддержке квантовой отрасли явля-
ются Китай, Европейский союз и США.
В 2019 году правительством РФ на госкорпорацию «Росатом» была возло-
жена ответственность за реализацию дорожной карты, направленной на раз-
витие высокотехнологичной области «Квантовые вычисления». Аналогичная
ответственность за развитие высокотехнологичной области «Квантовые ком-
муникации» была возложена на ОАО «РЖД».
Перспективность квантовых компьютеров обусловлена тем, что некото-
рые вычислительные задачи могут выполняться экспоненциально быстрее
на квантовом процессоре по сравнению с любым современным или перспек-
тивным классическим суперкомпьютером [2]. Следует отметить, что класс
задач, допускающих квантовое ускорение, весьма узок по сравнению с клас-
сом произвольных математических задач [3]. Фундаментальная проблема
заключается в создании высокопроизводительного процессора, способного
выполнять квантовые алгоритмы в экспоненциально большом вычислитель-
ном пространстве. В настоящее время предложены многие десятки различ-
ных физических платформ, на которых могут быть реализованы квантовые
вычисления. Среди наиболее перспективных платформ можно выделить
в том числе системы на основе ионов в ловушках [4–8], системы на основе
атомов в ловушках [9; 10], сверхпроводниковые процессоры [11–13] и фотон-
ные чипы [12].
В 2021 году исследователи из Университета Инсбрука представили де-
монстрационный образец для квантовых вычислений [5], который умеща-
ется в двух 19-дюймовых серверных стойках и представляет собой первый
в мире компактный квантовый компьютер с захваченными ионами, отвечаю-
щий высоким стандартам качества [5].
В январе 2019 года IBM представила новую систему IBM Q System One,
которая является первым коммерческим квантовым компьютером с 20 куби-
тами [11].
Осенью 2019 года группа учёных под руководством Джона Мартини-
са (J. Martinis) из компании Google заявила о достижении так называемо-
го квантового превосходства (quantum supremacy), которое было получено
с использованием квантового процессора Sycamore, состоящего из 53 кубит.
В статье [12], опубликованной в Nature в октябре 2019 года, утверждалось,
что процессор Sycamore выполнил за 200 секунд задание, на которое само-
му мощному на тот момент классическому суперкомпьютеру Summit потре-
бовалось бы 10 тысяч лет. Однако одновременно с публикацией результатов
Google специалисты компании IBM выступили с попыткой их опровержеВведение
19
ния, утверждая, что в такой вычислительной классической системе, как
Summit, рассматриваемая задача может быть решена всего 2,5 дня или даже
быстрее [14].
В декабре 2020 года группа китайских учёных из the University of Science
and Technology of China (USTC) с целью продемонстрировать квантовое пре-
восходство реализовала бозонные выборки на 76 фотонах с помощью фотон-
ного квантового компьютера Jiuzhang [15]. Авторы утверждают, что класси-
ческому современному суперкомпьютеру потребуется 600 миллионов лет
вычислительного времени, чтобы сгенерировать количество отсчётов, кото-
рое их квантовый процессор может сгенерировать за 20 секунд.
Несмотря на интенсивное развитие квантового компьютинга в течение
более тридцати лет, создание полномасштабного квантового компьютера всё
ещё остаётся недостижимой мечтой для современных технологий. Вместе
с тем исследования, выполненные в последние годы, показали, что квантовое
ускорение достижимо в реальной системе и не запрещено никакими скрыты-
ми физическими законами. Можно констатировать, что существенный про-
гресс в области экспериментальных и технологических исследований вселя-
ет реальную надежду на создание в среднесрочной перспективе квантовых
вычислительных устройств, способных решать практически важные задачи.
Достигнутый уровень квантовых информационных разработок провозгла-
шает новую эру NISQ- (Noisy Intermediate Scale Quantum) технологий. Та-
кие технологии сами по себе ещё до создания полномасштабных квантовых
компьютеров открывают новые довольно широкие вычислительные возмож-
ности, которые включают в себя методы оптимизации, машинное обуче-
ние, материаловедение, химию, а также ряд других научных и практических
областей.
Необходимо обеспечить непрерывное совершенствование NISQ-
технологий с тем, чтобы с течением времени открывались бы возможности
для решения всё более сложных задач. Для решения поставленных задач кри-
тически важно разработать систему непрерывного мониторинга и прогнози-
рования характеристик точности и эффективности квантовых информацион-
ных устройств в зависимости от степени их интеграции для вычислительных
задач различной сложности и для различных уровней декогерентизации и
квантовых шумов [16; 17].
Наряду с математическим моделированием квантовых операций и алго-
ритмов необходимо осуществлять их контроль в условиях реального экспери-
мента. Основным инструментом для этих целей служит томография кванто-
вых состояний и процессов [18–24], которая призвана обеспечить интерфейс
между разработкой элементной базы квантовых компьютеров и симуляторов
и её практическим воплощением. Методы численного анализа и статистиче-
ского моделирования с учётом влияния квантовых шумом, а также резуль-
татов технологических и экспериментальных исследований позволяют дать
исчерпывающую оценку качеству и эффективности проектируемых кван-
20 Введение в квантовые информационные технологии
товых регистров, сформулировать требования к экспериментальному обо-
рудованию и технологии; посредством обратной связи развиваемый подход
позволяет наилучшим образом распорядиться имеющимися ресурсами для
оптимизации процесса разработки квантовых информационных технологий.
Заметим, что наряду с томографией активно развиваются методы кван-
тового контроля, направленные на управление динамикой физических про-
цессов на атомном и молекулярном уровнях [25–28]. Это область науки
с многочисленными приложениями, начиная от селективных лазерно-инду-
цированных атомных и молекулярных возбуждений и заканчивая квантовы-
ми вычислениями и управлением химическими реакциями с помощью спе-
циально подобранных лазерных импульсов.
В России наиболее совершенным прототипом квантового процессора на
сегодня (август 2024 г.) является процессор на ионах в ловушках, реализован-
ный в ФИАН на 25 четырехуровневых кудитах (что эквивалентно степени
интеграции в 50 кубитов). Заметим, что кудиты представляют собой перспек-
тивную платформу для масштабируемых квантовых вычислений [29; 30]. Ак-
тивные работы в области элементной базы квантовых информационных тех-
нологий ведутся также в Российском квантовом центре, Центре квантовых
технологий МГУ, в МФТИ, МИСИС и ряде других организаций.
В 2022 году продемонстрирована технология массового производства
спиновых кубитов на кремниевых пластинах диаметром 300 мм с исполь-
зованием ультрафиолетовой 193-нм иммерсионной литографии (Intel) [31].
Эти достижения могут в недалёком будущем вывести кремниевую платформу
в число основных. В России конструкция квантового компьютера на осно-
ве квантовых точек в каналах полевых транзисторов в кремнии была пред-
ложена во ФТИАН им. К.А. Валиева ещё в конце 90-х гг. [32; 33]. В 1998 году
австралийский физик Б. Кейн (B.E. Kane) предложил использовать в каче-
стве кубита ядерный спин одиночного атома фосфора 31P, имплантирован-
ного в бесспиновый кремний 28Si. Очевидно, что это предложение содержит
синтез методов и материалов из магнитного резонанса и микроэлектроники.
В развитие идеи Кейна К.А. Валиев и А.А. Кокин в 1999 году предложили
строить кубит на ансамбле спинов атомов 31P в 28Si, т. е. использовать спины
многих атомов 31P, а не одного атома. Результаты исследований были обобще-
ны в монографии А.А. Кокина [34].
Другая перспективная твердотельная модель – это квантовые компью-
теры на электронных состояниях в квантовых точках в полупроводниковых
структурах. Преимущества этой схемы обусловлены высокой скоростью вы-
полнения логических операций, возможностью измерения состояний от-
дельных кубитов (благодаря более высокой интенсивности сигнала по срав-
нению с отдельными ядерными спинами), более простыми по сравнению
с ЯМР способами управления кубитами, а также тем, что рассматриваемые
устройства могут работать при более высоких температурах, чем твердотель-
ные ЯМР квантовые регистры. Трудности реализации рассматриваемой мо-
Введение 21
дели связаны с жесткими требованиями к технологии изготовления много-
кубитовых регистров, а также малыми временами релаксации электронных
состояний по сравнению с такими же временами для ядерных спинов.
Основой для рассматриваемой модели может служить зарядовый кубит
на сформированной в арсениде галлия квантовой точке, разделенной управ-
ляемым потенциальным барьером с одним электроном [35]. Проведённое
в работе Л.Е. Федичкина, М. Янченко и К.А. Валиева численное моделиро-
вание показало, что в рассматриваемом случае низкие температуры (~ 1 мК)
обеспечивают исходную инициализацию и требуемую когерентность. В каче-
стве логических состояний «ноль» и «единица» могут служить локализован-
ные состояния электрона в минимумах потенциала при достаточно большой
высоте потенциального барьера. Теоретический анализ доказал возможность
реализации в рассматриваемой модели квантовых однокубитовых, а также
двухкубитовых (например CNOT) операций.
В настоящее время исследования полупроводниковых систем кубитов
проводятся во ФТИАН им. К.А. Валиева и в Институте физики микрострук-
тур РАН.
В препринте [36], опубликованном в апреле 2023 большим авторским
коллективом исследователей Google (более 150 человек), говорится о созда-
нии квантового компьютера Google нового поколения, содержащего 70 ку-
битов. Новый процессор является непосредственным развитием процессора
Sycamore, созданного ещё в 2019 году. Утверждается, что новый квантовый
процессор способен за 6,7 секунд выполнить вычисления, на которые у са-
мого мощного на тот момент суперкомпьютера Frontier ушло бы 47 лет. Во-
прос о степени состоятельности претензий Google на достижение квантового
превосходства с помощью процессора Sycamore первого поколения оставался
актуальной темой научных дискуссий в течение нескольких лет [37]. По мне-
нию исследователей, сомнения о том, достиг ли процессор Google квантового
превосходства, теперь, после создания процессора Sycamore второго поколе-
ния, разрешены в пользу Google.
В 2023 году компания IBM выполнила исследование с использованием
«шумного» квантового процессора Eagle (127 кубит). В том же 2023 году груп-
па исследователей из IBM опубликовала в Nature статью, которая, по мне-
нию авторов, убедительно доказывает практическую полезность квантовых
вычислений [38]. Результаты выполненного эксперимента показывают, что
и до того, как будет обеспечена отказоустойчивость (fault tolerance) кван-
товых схем, полезные результаты можно получать на «шумном» квантовом
компьютере. Авторы отмечают, что квантовые вычисления обещают су-
щественно ускорить решение определённых задач по сравнению с их клас-
сическими «собратьями», однако самым большим препятствием на пути
полномасштабной реализации квантовых вычислений является шум, прису-
щий квантовым информационным системам. Стандартным решением этой
проблемы была бы реализация отказоустойчивых квантовых схем, однако
22 Введение в квантовые информационные технологии
это недостижимо для современного уровня технологии. В экспериментах
на шумном 127-кубитном
процессоре Eagle демонстрируется высокоточное
измерение средних значений (математических ожиданий) в задачах, масштаб
которых многократно превосходит возможности классических вычислений
методом «грубой силы». Авторы не используют методы коррекции ошибок
(error correction), требующие колоссального числа вспомогательных кубитов.
Вместо этого они используют методы «смягчения» ошибок (error-mitigation),
основанные на постобработке результатов квантовых измерений.
В рассмотренной авторами задаче, связанной с моделью Изинга, ради-
кальное преимущество квантового процессора по сравнению с классическим
относится к масштабу задачи: ни один классический компьютер не имеет
столько памяти, чтобы можно было бы закодировать результаты, отвечающие
возможностям 127-го регистра кубитов (заметим, что 2127 = 1.7e + 38).
Заметим также, что эксперимент проводился на 127-кубитном процес-
соре Eagle, а не на более новом процессоре компании Osprey с 433 кубита-
ми, представленном ещё в ноябре 2022 года. Основной причиной сделанно-
го IBM выбора в пользу менее масштабного процессора Eagle является то,
что он уже прошёл третью итерацию улучшений (Revision 3), в то время как
Osprey всё ещё находится на первой экспериментальной итерации. Осущест-
влённые на Eagle модификации привели к увеличению производительно-
сти процессора, а также к снижению уровня шума, что облегчило процедуру
error-mitigation. Важно также иметь в виду, что сама процедура error-mitigation
масштабируется экспоненциально с числом кубитов, поэтому имеющихся
в настоящее время суперкомпьютерных мощностей просто недостаточно для
реализации полномасштабной процедуры error-mitigation на квантовом про-
цессоре Osprey.
Заметим, что в январе 2024 г. в журнале PRX QUANTUM группа иссле-
дователей из США сообщила о точном и эффективном классическом моде-
лировании квантовой системы Изинга на решётке тяжёлых шестиугольни-
ков [39]. Моделирование как раз этой системы было выполнено в 2023 году
на 127-кубитном квантовом процессоре Eagle IBM с использованием ме-
тодов смягчения ошибок для повышения точности [38]. Авторы показали,
что, приняв подход тензорной сети, который отражает геометрию решётки,
можно выполнить классическое моделирование, которое значительно более
полное и точное, чем результаты, полученные с помощью квантового про-
цессора. Авторы также показывают, что их метод позволяет выполнять моде-
лирование системы на длительных временах в термодинамическом пределе,
соответствующем квантовому компьютеру с бесконечным числом кубитов.
По мнению авторов, их подход тензорных сетей имеет более широкое приме-
нение для моделирования динамики квантовых систем такого рода. На наш
взгляд, работы, подобные [39], свидетельствуют об активной разработке но-
вых классических методов и алгоритмов, само появление которых мотивиро-
вано развитием квантовых информационных технологий. Такое соперниче-
Введение 23
ство между классическими и квантовыми алгоритмами несёт несомненную
пользу для обеих отраслей.
О перспективных и неперспективных задачах для квантовых компью-
теров с точки зрения достижения квантового преимущества говорится
в статье [40], опубликованной в мае 2023 года в журнале Communication of
the ACM, представляющем ассоциацию вычислительной техники (ACMAssociation
for Computing Machinery). Отметим, что ACM – старейшая и са-
мая крупная международная организация в компьютерной области, которая
объединяет 83 000 специалистов. Авторы статьи (сотрудники Microsoft) ста-
вят своей целью отделение шумихи вокруг квантовых технологий от прак-
тических задач, в которых возможно реальное достижение квантового
преимущества (quantum advantage). По мнению авторов статьи, многие со-
временные квантовые алгоритмы могут так и не достичь практического
ускорения. В то же время материаловедение и химия имеют огромный по-
тенциал и можно надеяться, что будут изобретены практичные квантовые ал-
горитмы. Из-за ограничений входной и выходной пропускной способности
квантовые компьютеры будут практичны для задач big compute – больших
вычислений с небольшим количеством данных, но не для задач с большим
количеством данных – big data. Квадратичное ускорение, обеспечиваемое
такими алгоритмами, как алгоритм поиска Гровера, недостаточно для прак-
тического квантового преимущества без значительных улучшений всего
программно-аппаратного стека.
В рамках квантовых информационных технологий важное значение име-
ет задача целочисленной факторизации. Для решения данной задачи с помо-
щью стандартных квантовых вычислений используется алгоритм Шора [41].
Однако экспериментальная реализация алгоритма Шора в гейтовом кванто-
вом вычислителе – крайне непростая задача. Например, авторы известной
работы [42] использовали молекулу с семью ядрами со спином 1/2 для фак-
торизации числа 15. Но подобные эксперименты не могут быть применены
для факторизации больших чисел, что приводит к необходимости улучшения
данного алгоритма. Так, в работе [43] предлагается использовать реинициа-
лизируемые кубиты для реализации итеративной вариации алгоритма Шора.
Одним из наилучших результатов при использовании данного алгоритма
остаётся разложение чисел 51 и 85 с помощью квантовой схемы на восьми
кубитах [44]. В течение последних десятилетий было предпринято много по-
пыток реализовать гейтовый алгоритм Шора на различных квантовых вы-
числительных устройствах. Однако квантовые вычисления являются техно-
логией, которая только начинает своё развитие, и существующие квантовые
устройства всё ещё имеют ограниченные возможности и неспособны решать
сложные проблемы, такие как факторизация больших чисел, которые явля-
ются основой криптографических алгоритмов.
В настоящее время активно разрабатываются методы атак на криптогра-
фические алгоритмы, альтернативные подходам с использованием алгоритмов
24 Введение в квантовые информационные технологии
Шора и Гровера. Так, в конце 2022 года группой китайских учёных в препринте
[45] был представлен метод факторизации чисел, совмещающий классический
метод Шнорра [46; 47] и квантовый алгоритм QAOA (Quantum Approximate
Optimization Algorithm – квантовый алгоритм приближенной оптимизации).
Авторы работы утверждают, что разложили с использованием реальных кван-
товых вычислителей самое большое на данный момент 15-значное число
N = 261980999226229 = 15538213 ⋅ 16860433, а также делают оценку, что
с использованием предложенного метода RSA-2048 может быть взломан
на 372 физических кубитах. В связи с последним утверждением работа вы-
звала большой новостной резонанс [48; 49]. Однако профессиональное со-
общество отнеслось к данной работе скептически [50] и стали появляться ра-
боты с указанием конкретных [51] проблем в работе [45]. Сами оригинальные
работы Шнорра вызывают множество вопросов, а предложенный метод не
показал успешной работы на реальных задачах, предложенный же гибридный
метод с использованием алгоритма QAOA данных проблем не разрешает.
Отметим, что в методе Шнорра и соответствующем квантовом расши-
рении задача факторизации чисел сводится к минимизации, что и служит
поводом для использования квантовых вычислителей. Описанная работа
не является первой в данном направлении. Так, например, рассматривались
подходы с использованием квантовых адиабатических алгоритмов [52–54] и
вариационных квантовых алгоритмов [55; 56]. Помимо работы [45] есть и ряд
других работ с факторизацией различных чисел с использованием квантовых
вычислителей [57–60]. Так, в препринте [61] утверждается, что на 10 ионных
кубитах при помощи цифровизованного квантового контрадиабатического
алгоритма было разложено 48-битное число. Однако такие работы имеют ряд
типичных проблем: лишь часть расчётов производится при помощи кванто-
вых вычислителей, выбираются специальные удобные для алгоритмов числа,
представляются нереалистичные оценки масштабируемости. Также стоит от-
метить, что сама возможность получения квантового ускорения при помощи
подобных оптимизационных алгоритмов на данный момент остаётся откры-
тым вопросом.
В январе 2024 г. вышел довольно объёмный препринт (75 стр.), посвя-
щённый оценке преимуществ и рисков, связанных с квантовыми компью-
терами [62]. Работа написана сотрудниками IBM, NIST, Microsoft и ряда
других организаций США и Канады, специализирующихся на квантовых вы-
числениях и информационной безопасности. Авторы препринта отмечают,
что квантовые вычисления — это новая технология, имеющая потенциаль-
но далеко идущие последствия для национального процветания и безопас-
ности. Понимание временных рамок, в течение которых могут проявиться
экономические выгоды и риски национальной безопасности (в частности,
посредством криптоанализа), имеет жизненно важное значение для обеспе-
чения разумного развития этой технологии. Чтобы информировать экспер-
тов по безопасности и лиц, принимающих политические решения по этому
Введение 25
вопросу, авторы, используя имеющуюся на сегодня исследовательскую лите-
ратуру, рассматривают то, что в настоящее время известно о потенциальном
использовании и рисках квантовых компьютеров. Отмечается, что степень
зрелости доступных в настоящее время квантовых компьютеров ещё не до-
стигла такого уровня, чтобы их можно было использовать в производстве
для решения крупномасштабных, промышленно важных задач, и в насто-
ящее время считается, что квантовые компьютеры пока что не представля-
ют угрозу безопасности для классических информационных систем. Вместе
с тем можно выделить две крупномасштабные тенденции — разработку но-
вых приближенных методов (вариационные алгоритмы, смягчение ошибок
и объединение схем), а также коммерческие исследования квантовых прило-
жений, важных для бизнеса. Вместе эти две тенденции могут сделать возмож-
ными полезные и практичные квантовые вычисления в ближайшем будущем.
В то же самое время обсуждаемые новые приближенные методы вряд ли из-
менят необходимые ресурсы для криптоанализа, применяемые к используе-
мым в настоящее время криптосистемам. Анализ существующих и известных
алгоритмов криптоанализа показывает, что они требуют схем, размер которых
превышает те, которые могут быть реализованы современными квантовыми
компьютерами или квантовыми вычислителями, которые могут появиться
в обозримом будущем. Важно отметить, однако, что в литературе встречают-
ся улучшенные квантовые алгоритмы для такого рода задач. Кроме того, риск
для кибербезопасности можно эффективно контролировать за счёт перехода
на новые квантовобезопасные (постквантовые) криптографические прото-
колы. Таким образом, достоверно можно ожидать, что квантовые компью-
теры будут способны выполнять экономически выгодные вычисления, пре-
жде чем они станут пригодны для выполнения операций, которые являются
криптографически релевантными.
Среди новостей последнего времени в области квантовых информацион-
ных технологий отметим следующие.
В марте 2024 года Google совместно с XPRIZE и Женевским форумом
науки и дипломатии (Geneva Science and Diplomacy Anticipator – GESDA)
объявила о запуске трёхлетнего международного конкурса XPRIZE с бюдже-
том в 5 млн. долларов по применению квантовых вычислений для решения
прикладных задач [63]. Конкурс направлен на создание алгоритмов кванто-
вых вычислений, которые можно будет применить на практике (сегодня или
в будущем) для достижения общественно полезных целей, подобных тем, ко-
торые описаны в целях устойчивого развития Организации Объединенных
Наций. Инициаторы отмечают, что конкурс тесно связан со стремлением
квантовой команды Google создать крупномасштабный квантовый компью-
тер с исправлением ошибок и разработкой полезных приложений для кван-
товых вычислений. Таким образом, компания Google заявляет о поддержке
применения новых квантовых технологий для решения крупных задач, име-
ющих глобальный характер.
26 Введение в квантовые информационные технологии
Компания IBM анонсировала аппаратное и программное обеспече-
ние эпохи квантовой полезности, а также дорожную карту до 2033 года [64].
По мнению IBM, эксперимент, описанный ими в июне 2023 года в журнале
Nature [38], изменил существовавший до этого статус-кво. В [38] было проде-
монстрировано, что квантовые компьютеры могут управлять схемами, недо-
ступными для классического моделирования методом «грубой силы». Впер-
вые возникло аппаратное и программное обеспечение, способное выполнять
квантовые схемы без известного априорного ответа в масштабе порядка
100 кубитов и 3000 вентилей. Квантовый компьютер теперь, по мнению IBM,
является вычислительным инструментом, что открывает возможность раз-
вивать науку в областях, выходящих за рамки самих квантовых вычислений.
Из таких крупномасштабных экспериментов стало ясно, что нужно выйти
за рамки традиционных