eng
Содержание
Содержание
Обозначения и сокращения.................................... 10
Предисловие рецензента ......................................... 11
Введение ..................................................................... 16
Глава 1
Структуры оконных функций и их основные
параметры .................................................................. 21
1.1.
Основные положения.................................................. 21
1.2.
Параметры оконных функций ..................................... 26
1.2.1.
Эквивалентная шумовая полоса ............................. 26
1.2.2.
Усиление преобразования ...................................... 27
1.2.3.
Корреляция перекрывающихся участков ................. 29
1.2.4.
Паразитная амплитудная модуляция спектра ........... 31
1.2.5.
Максимальные потери преобразования .................... 31
1.2.6.
Просачивание спектральных составляющих ............. 32
1.2.7.
Минимальная разрешаемая полоса ......................... 33
1.2.8.
Относительная разность шумовой полосы окна и его
полосы по уровню −3 дБ....................................... 33
1.2.9.
Максимальный уровень боковых лепестков .............. 33
1.2.10.
Скорость спада боковых лепестков ......................... 34
1.3.
Выбор оконных функций при цифровой обработке
сигналов ................................................................... 34
Глава 2
Классические оконные функции .......................... 37
2.1.
Прямоугольная и треугольная оконные функции............ 37
2.1.1.
Прямоугольное окно (окно Дирихле)....................... 37
2.1.2.
Треугольное окно (окно Файера или Бартлетта) ....... 38
2.2.
Оконные функции Хеннинга........................................ 40
2.2.1.
Косинусоидальный лепесток .................................. 40
2.2.2.
Косинусквадратичное окно Хеннинга (окно Ханна) ...... 41
2.2.3.
Косинускубичная оконная функция ........................ 41
2.2.4.
Квадрат косинусквадратичной оконной функции ...... 42
2.3.
Оконные функции Хэмминга, Блэкмана, Блэкмана–
Хэрриса.................................................................... 42
2.3.1.
Окно Хэмминга (модификация окна Хеннинга)......... 42
2.3.2.
Окно Блэкмана .................................................... 43
2.3.3.
Окна Блэкмана–Хэрриса ....................................... 44
2.4.
Оконные функции Наталла, Блэкмана–Наталла,
Бартлетта–Ханна, окно с плоской вершиной .................. 45
2.4.1.
Окна Наталла и Блэкмана–Наталла ........................ 45
2.4.2.
Гибридное окно Бартлетта–Ханна........................... 45
2.4.3.
Окно с плоской вершиной...................................... 46
Глава 3
Оконные функции, сконструированные
различными авторами ............................................. 48
3.1.
Оконные функции Рисса, Римана, Валле-Пуссена .......... 48
3.1.1.
Окно Рисса (Бохнера, Парзена) .............................. 48
3.1.2.
Окно Римана ....................................................... 50
3.1.3.
Окно Валле-Пуссена (Джексона, Парзена) ............... 51
3.2.
Оконные функции Тьюки ........................................... 51
3.3.
Оконные функции Бомана и Пуассона .......................... 52
3.3.1.
Окно Бомана ....................................................... 52
3.3.2.
Окна Пуассона..................................................... 53
3.4.
Оконные функции Хеннинга–Пуассона, Коши и Гаусса ..... 54
3.4.1.
Окна Хеннинга–Пуассона ...................................... 54
3.4.2.
Окна Коши (Абеля, Пуассона) ............................... 55
3.4.3.
Окна Гаусса (Вейерштрасса) .................................. 55
3.5.
Оконные функции Кайзера–Бесселя ............................. 57
Глава 4
Оконные функции Дольфа–Чебышева,
Барсилона–Темеша и их модификации............... 60
4.1.
Равноволновые окна Дольфа–Чебышева и их модифика-
ции .......................................................................... 60
4.1.1.
Оконные функции Дольфа–Чебышева..................... 60
4.1.2.
Окна Дольфа–Чебышева–Дворковича ..................... 69
4.2.
Окна Барсилона–Темеша и их модификации.................. 74
8
Содержание
4.2.1.
Оконные функции Барсилона–Темеша .................... 74
4.2.2.
Окна Барсилона–Темеша–Дворковича ..................... 77
Глава 5
Оконные функции Кравченко............................... 83
Глава 6
Синтез высокоэффективных оконных
функций с использованием минимизации
спектральных составляющих вне пределов
заданного интервала ................................................ 87
6.1.
Минимизация мощности боковых лепестков спектров
окон с четными косинусоидальными составляющими ...... 87
6.2.
Минимизация мощности боковых лепестков спектров
окон с нечетными косинусоидальными составляющими...... 94
Глава 7
Синтез высокоэффективных оконных
функций с использованием минимизации
различий их формы и спектра.............................. 100
7.1.
Минимизация различий формы и спектра окон с четными
косинусоидальными составляющими............................. 100
7.2.
Минимизация различий формы и спектра окон с нечет-
ными косинусоидальными составляющими .................... 108
Глава 8
Дополнительные методы повышения
эффективности параметров оконных функций 115
8.1.
Алгоритмы максимизации спада уровней боковых
лепестков спектра оконных функций ............................ 115
8.2.
Формирование окон путем перемножения оконных
функций или возведения в степень их спектров ............. 127
Глава 9
Дискретные вейвлет-преобразования
ограниченных по спектру сигналов
и формирование на их базе оконных функций..... 130
9.1.
Двухканальная система субполосного дискретного
преобразования сигналов ............................................ 131
9.1.1.
Ортогональные КИХ-фильтры с нечетным числом
отсчетов цифровой решетки и линейной (нулевой) ФЧХ 135
9.1.2.
Ортогональные КИХ-фильтры с четным числом
отсчетов цифровой решетки................................... 142
9.1.3.
Квадратурно-зеркальные КИХ-фильтры.................. 149
9.2.
Трехканальная система субполосного дискретного
преобразования сигналов ............................................ 150
9.3.
Четырехканальная система субполосного дискретного
преобразования сигналов ............................................ 158
9.4.
Пятиканальная система субполосного дискретного
преобразования сигналов ............................................ 166
Глава 10
Обработка изображений с кратномасштабным
дискретным вейвлет-преобразованием. ............... 176
10.1.
Основные положения.................................................. 176
10.2.
Зависимость энергетических характеристик субполос
изображения от вида вейвлет-базиса разложения ........... 180
10.3.
Выбор маски квантования компонент
вейвлет-преобразований изображения ........................... 184
10.4.
Обработка тестовых изображений двухполосными
вейвлет-фильтрами .................................................... 191
10.5.
Обработка тестовых изображений комплексными
вейвлет-фильтрами .................................................... 193
Литература................................................................. 200
Specific features ofdesignandapplication of win-
dow functions .............................................................. 204
Table of Contents ....................................................... 211
Обозначения и сокращения
CG - когерентное усиление (соherent gain)
FIR - результирующая импульсная характеристика
(finite impulse response)
MIMO - система с многими входами–многими выходами
(multiple input–multiple output)
MPL - максимальные потери преобразования
(maximum processing loss)
PG - усиление преобразования (processing gain)
PL - потери преобразования (processing loss)
PSNR - отношение размаха сигнала к помехе (peak signal
to noise ratio)
SL - паразитная амплитудная модуляция спектра
(scalloping loss)
ААР - адаптивная антенная решетка
АЧХ - амплитудно-частотная характеристика
ДПФ - дискретное преобразование Фурье
КИХ - конечная импульсная характеристика
КНД - коэффициент направленного действия
РЛС - радиолокационная станция
СКО - среднеквадратичное отклонение
УБЛ - уровень боковых лепестков
ФЧХ - фазочастотная характеристика
Предисловие рецензента
Развитие информационных технологий в начале XXI века харак-
теризуется становлением и широким практическим использованием
техники цифровой обработки сигналов одной из самых динамич-
ных и быстроразвивающихся технологий в мире телекоммуникаций
и информатизации общества.
Предлагаемое переработанное и дополненное издание книги "Окон-
ные функции для гармонического анализа сигналов" является
существенным вкладом авторов в развитие науки и перспектив-
ных телекоммуникационных технологий наряду с их монографиями:
¾Цифровые видеоинформационные системы (теория и практика)¿
(Техносфера, 2012, 1007 с.) и"Измерения в видеоинформационных
системах (теория и практика)" (Техносфера, 2015, 780 с.). Данную
книгу можно считать продолжением вышеуказанных фундаменталь-
ных материалов.
Ограничение интервала цифровой обработки сигналов с исполь-
зованием оконных функций связано, с одной стороны, с невозмож-
ностью анализа информации на бесконечном интервале времени, а с
другой обусловлено нестационарностью сигналов.
Применение оконного сглаживания позволяет рассчитывать соот-
ветствующие алгоритмы фильтрации сигналов под любые практиче-
ские задачи для уменьшения эффекта Гиббса, улучшения характе-
ристик фильтров, уменьшающих размывание спектральных компо-
нент, существенного уменьшения разрывности исследуемого сигнала
на границах его периодического продолжения при аппроксимации
параметров коэффициентов передачи данных.
В этом плане оконные функции широко используются при раз-
работке кодирующих систем аудиосигналов и анализе соответствия
их объективного и субъективного восприятия. Банки фильтров ана-
лиза аудиосигналов обеспечивают отображение отсчетов временной
области в виде спектральных составляющих. Перцептуальная (пси-
хоакустическая) модель их обработки обеспечивает оценку фактиче-
ского порога маскирования с временной зависимостью, достигается
возможность варьирования глубины квантования спектральных со-
ставляющих по времени и частоте, реализуется разбиение спектра
сигнала на ряд неравномерных критических полос, определяемых
специальными единицами частоты - "барками".
Оконные функции широко используются при разработке адап-
тивных антенных решеток (ААР), у которых параметры и, в част-
ности, характеристика диаграммы направленности изменяется так,
чтобы были обеспечены близкие к наилучшим условия приема полез-
ного сигнала на фоне постоянно меняющихся помех за счет синтеза
системы с заданной частотной фильтрацией. В качестве критери-
ев адаптации обычно используются либо максимизация отношения
сигнал/шум, либо уменьшение мощности собственных шумов на вы-
ходе ААР. Способы разнесения, используемые в ААР, реализуют
пространственное или поляризационное разнесение.
Применение антенных решеток позволяет увеличить коэффици-
ент направленного действия и, соответственно, усиление антенны,
сузить луч для повышения точности определения угловых координат
источника излучения в навигации и радиолокации, поднять электри-
ческую прочность антенны и увеличить уровень излучаемой (прини-
маемой) мощности путем размещения в каналах решетки независи-
мых усилителей высокочастотной энергии.
С помощью оконных систем реализуются антенные решетки с
электрическим сканированием несколькими лучами (многолучевы-
ми, моноимпульсными и т.д.), работающими на различных частотах
(совмещенными) и имеющими различные характеристики.
Оконные функции также широко применяются при кратномас-
штабной обработке изображений с использованием различного вида
дискретных вейвлет-базисов.
Вейвлеты являются аналогами полосовых фильтров, выделяю-
щих в основном высокочастотные локальные особенности сигналов.
Они обычно сочетаются со скейлинг-функциями, представляющими
собой аналоги низкочастотных фильтров, которыми из сигнала вы-
деляются в отдельный массив составляющие, не прошедшие вейвлет-
ную фильтрацию. Таким образом, форма сигналов представляется
суммированием его грубой аппроксимации с добавлением детализи-
рующих локальных уточнений на различных временных интервалах,
являясь основой его кратномасштабного анализа.
Для реализации таких возможностей обычно используют ортого-
нальные вейвлеты в виде КИХ-фильтров, аналогичных используе-
мым при разработке оконных функций. Такие вейвлеты могут быть
реализованы, основываясь на представлении некоторого простран-
ства сигналов в виде системы вложенных подпространств, отлича-
ющихся друг от друга только перемасштабированием независимой
переменной.
При кратномасштабной обработке изображений наиболее часто
используется последовательное разложение изображения по столб-
цам и строкам. Такой вид обработки соответствует использованию
разделимых двумерных фильтров, импульсная характеристика ко-
Предиторых есть тензорное произведение импульсных характеристик со-
ответствующих одномерных фильтров. При использовании двухпо-
лосных вейвлет-фильтров частотная плоскость изображения разби-
вается на четыре области.
В случае применения трехполосных, четырехполосных, пятипо-
лосных вейвлет-фильтров частотная плоскость изображения разби-
вается соответственно на девять, шестнадцать или двадцать пять об-
ластей. Иногда сформированные таким образом частотные области
могут дополнительно преобразовываться с использованием вейвлет-
фильтров меньшей разрядности.
Предлагаемую книгу можно считать фундаментальным трудом,
в котором собраны практически все имеющиеся на настоящее время
сведения об оконных функциях.
Книга содержит подробную информацию о параметрах и приме-
нении для обработки сигналов с использованием БПФ классических
оконных функций, начиная от прямоугольного окна Дирихле и тре-
угольного окна Файера–Бартлетта до окон Хеннинга и Блэкмана–
Хэрриса, а также оконных функций, сконструированных различ-
ными авторами в виде произведений, сумм и сверток различных
функций или в виде отдельных участков известных окон.
Поскольку все виды оконных функций симметричны относитель-
но середины заданного временного или частотного интервала и огра-
ничены по его длительности, они представимы в виде суммы косину-
соидальных (четных или нечетных) базисных функций с периодами
или полупериодами, кратными этому интервалу.
С использованием этого однозначного представления окон авто-
ры разработали несколько вариантов новых оконных функций и оп-
тимизации их параметров с применением следующих алгоритмов:
– минимизации спектра вне пределов заданного частотного ин-
тервала;
– минимизации различий формы и спектра оконных функций;
– максимизации скорости спада уровней боковых лепестков спект-
ра оконных функций;
– перемножения относительных спектров оконных функций.
Минимизация мощности спектральных составляющих окна вне
пределов заданного нормированного частотного интервала позволя-
ет с увеличением этого интервала от 1 до 7 бин плавно уменьшить
максимальный боковой лепесток по сравнению с основным лепест-
ком от 26 до 188 дБ.
Этот метод позволяет реализовать как известные стандартные
оконные функции, так и ряд новых функций с низким уровнем бо-
ковых лепестков, пригодных для анализа сигналов с весьма малым
уровнем мощности. Приведены подробные таблицы параметров та-
ких оконных функций.
Использование алгоритма минимизации различий формы и спект-
ра оконных функций при числе косинусоидальных составляющих от
1 до 9 позволило создать окна с максимальным боковым лепест-
ком Фурье-образа на 31,5–250 дБ меньше основного лепестка при
различии формы и спектра от 2,5% до менее 10−10%. Даны также
подробные таблицы параметров таких окон.
В ряде случаев интерес представляют оконные функции с макси-
мально возможной скоростью спада боковых лепестков их спектра.
Одним из вариантов таких функций являются степенные косинусо-
идальные функции, спад уровней боковых лепестков которых изме-
няется на 6 дБ при увеличении степени от n до n + 1 и достигает
126 дБ при n = 20. Рассмотрены также алгоритмы формирования
оконных функций путем возведения в степень их спектров, а также
перемножения спектров различных окон.
Особое внимание уделено равноволновым окнам Дольфа–Чебы-
шева и Барсилона–Темеша, используемым для анализа дискретных
сигналов, спектр которых обладает свойством периодичности. Ав-
торами показано, что нормированные спектральные функции этих
окон тождественно определяются конечным числом косинусоидаль-
ных функций. При этом, если используются полиномы Чебышева
четного порядка (n = 2m), оконные функции определяются суммой
m четных косинусоидальных функций, а если оконные функции реа-
лизуются при полиномах Чебышева нечетного порядка (n = 2m−1),
оконные функции воспроизводятся суммой m нечетных косинусо-
идальных функций. На базе этих окон авторами разработаны новые
оконные функции, обладающие стандартным главным лепестком и
существенно подавленными боковыми лепестками. Приведены таб-
лицы коэффициентов разложения и параметров оконных функций,
разработанных с использованием предложенных алгоритмов.
Отдельная глава книги посвящена принципам обработки ограни-
ченных по спектру сигналов с использованием дискретных вейвлет-
преобразований и формированию на их базе оконных функций.
Анализируется структурная схема двухканальной системы суб-
полосного дискретного преобразования сигналов с применением ор-
тогональных КИХ-фильтров с нечетным числом отсчетов цифровой
решетки и линейной (нулевой) ФЧХ, КИХ-фильтров с четным чис-
лом отсчетов цифровой решетки и построению на их базе оконных
функций, а также квадратурно-зеркальных КИХ-фильтров.
Подробно также излагаются принципы построения структур трех-
канальной, четырехканальной и пятиканальной систем субполосного
дискретного прямого и обратного преобразований сигналов и фор-
мированию с их использованием специальных оконных функций.
Важной проблемой при кратномасштабной обработке изображе-
ний (их кодировании и сжатии) является выбор вейвлет-базиса. В об-
щем случае это сложная задача, нерешенная до настоящего вре-
мени. Известен ряд критериев, определяющих качество того или
иного вейвлет-базиса, среди которых наиболее важными являются:
гладкость, точность восстановления изображения, частотная изби-
рательность фильтров. Одним из возможных подходов к решению
этой проблемы является оценка изменений распределения энергии
по высокочастотным компонентам в зависимости от выбранного для
обработки вейвлет-базиса.
Последовательное разложение изображения по столбцам и стро-
кам соответствует использованию разделимых двумерных фильтров.
Достаточно подробно анализируются методы обработки изображе-
ний с применением вейвлет-преобразований и реализации на их ос-
нове кратномасштабных преобразований изображений. Исследованы
варианты двумерного разложения изображений при двухполосном,
трехполосном и комбинированном вейвлет-преобразовании как те-
стовых изображений, так и кадров динамических изображений.
Таким образом, особенностью данной книги является стремле-
ние авторов помочь специалистам телекоммуникационной отрасли
и ее метрологического обеспечения разобраться в сложных пробле-
мах цифровой обработки информации и ее анализа, значимости и
эффективности стандартов кодирования и передачи в современных
информационных системах.
Могу с уверенностью сказать, что в данной книге весьма полно
отражены проблемы, которым она посвящена, излагаются ориги-
нальные решения, способствующие развитию науки и перспектив-
ных технологий применения оконных функций при гармоническом
преобразовании сигналов. В связи с этим книгу следует отнести к
категории монографий и поздравить авторов с реализацией их оче-
редных результатов.
Доктор технических наук, профессор,
лауреат Государственной премии РФ,
заслуженный работник высшей школы РФ
Митрохин В.Н.
Введение
При обработке сигналов с использованием оконных функций про-
водится анализ параметров, определение составляющих этих сигна-
лов, обычно при наличии различного рода помех. При решении этих
задач часто используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ),
обеспечивающее разложение сигнала по базису, состоящему из про-
стых косинусоидальных и синусоидальных функций. В этом случае
предполагается, что сигнал вне интервала его обработки периодиче-
ски повторяется.
Обрабатываемый сигнал на заданном интервале преобразуется
в N эквидистантных отсчетов, а его гармонические оценки вычис-
ляются с помощью ДПФ, определяющих N соответствующих спек-
тральных составляющих. Для получения удовлетворительных ре-
зультатов такого преобразования в случаях, если длительность сиг-
нала не соответствует выбранному интервалу обработки или если
период следования сигнала не кратен этому интервалу, используют-
ся различные оконные функции, реализующие сглаживание сигнала
на границах интервала обработки [1].
Таким образом, оконные функции или окна представляют собой
весовые функции, обеспечивающие уменьшение размывания спек-
тральных компонент, связанного с конечностью интервала наблюдения.
Применение оконной функции приводит к существенному уменьше-
нию разрывности исследуемого сигнала на границах его периодиче-
ского продолжения. С помощью окон обеспечивается приравнивание
или приближение к нулю максимального числа производных анали-
зируемой функции на границах выбранного интервала обработки.
Ограничение области анализа сигналов зачастую обусловлено их
нестационарностью, а также невозможностью исследования на бес-
конечном интервале времени. По этой причине особое внимание уде-
ляется использованию оконных функций при разработке кодирую-
щих систем аудиосигналов и анализа соответствий их объективного
и субъективного восприятия.
Использование оконного сглаживания позволяет рассчитывать
фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры)
под любые практические задачи для уменьшения эффекта Гиббса и
улучшения характеристик фильтра с аппроксимацией комплексного
коэффициента передачи при линейной ФЧХ.
Традиционно в аудиокодерах перцепционного типа используют
банки фильтров, помогающие эффективно кодировать аудиосигналы
и формировать шумы квантования в соответствии с оцениваемой
кривой маскирования.
Банки фильтров анализа аудиосигналов обеспечивают отображе-
ние отсчетов временной области в виде спектральных составляю-
щих. В зависимости от числа спектральных составляющих аудиоко-
дер может также быть кодером поддиапазонов (при их небольшом
количестве, например, до 32) или кодером-преобразователем (при
значительно большем количестве частотных компонент). Перцепци-
онная (психоакустическая) модель реализует оценку фактического
порога маскирования с временной зависимостью. Спектральные ком-
поненты (подполосы или дискреты частотной области) квантуются
и кодируются таким образом, чтобы шум квантования был скрыт в
фактически передаваемом сигнале и неразличим при последующем
декодировании. Это достигается варьированием глубины квантова-
ния спектральных величин по времени и частоте.
При анализе звуковой информации зачастую используются нерав-
нополосные, так называемые косинусно-модулированные банки филь-
тров [2], осуществляющие разбиение спектра на критические полосы,
расстояние между центрами которых в психоакустике определяется
в специальных единицах частоты барках.
Особая область применения оконных функций разработка адап-
тивных антенных решеток (ААР), параметры которых, в частности
характеристика диаграммы направленности, изменяются автомати-
чески для обеспечения наилучших или приближающихся к наилучшим
условиям приема полезного сигнала на фоне постоянно меняющих-
ся воздействий (помех). Выбранные оконные функции применяют-
ся в качестве весового коэффициента к диаграмме направленности
антенной решетки при синтезе системы с заданной частотной филь-
трацией.
В системах, использующих ААР, обеспечивается динамическое
изменение параметров и характеристик антенн в зависимости от внеш-
них или внутренних факторов. Возможность адаптации повышает
качество приема сигнала [3, 4].
В качестве критериев адаптации обычно используются либо мак-
симум отношения сигнал/шум, либо минимум мощности собствен-
ных шумов на выходе ААР. В ААР используется пространственное
или поляризационное разнесение.
В последнее время активно развивается направление MIMO си-
стем связи, в которых ААР используются как на приёмной, так и на
передающей стороне.
Применение антенных решеток обусловлено рядом причин:
– решетка из N элементов позволяет увеличить приблизительно
в N раз коэффициент направленного действия (КНД) и, соот-
ветственно, усиление антенны;
– решетка позволяет сузить луч для повышения точности опре-
деления угловых координат источника излучения в навигации
и радиолокации;
– с помощью решетки удается поднять электрическую прочность
антенны и увеличить уровень излучаемой (принимаемой) мощ-
ности путем размещения в каналах решетки независимых уси-
лителей высокочастотной энергии.
Помехозащищенность системы зависит от уровня боковых ле-
пестков (УБЛ) антенны и возможности подстройки (адаптации) его
по помеховой обстановке. Антенная решетка необходимое звено
для создания такого динамического пространственно-временного
фильтра или просто для уменьшения УБЛ. Одной из важнейших за-
дач современной бортовой радиоэлектроники является создание ком-
плексированной системы, совмещающей несколько функций, напри-
мер, радионавигации, РЛС, связи и т.д. Возникает необходимость со-
здания антенной решетки с электрическим сканированием с несколь-
кими лучами (многолучевой, моноимпульсной и т.д.), работающей на
различных частотах (совмещенной) и имеющей различные характе-
ристики.
И наконец, можно указать широкое использование оконных функ-
ций при кратномасштабной обработке изображений с использовани-
ем различного вида дискретных вейвлет-базисов [5].
При обработке таких сигналов вейвлеты применяются, как прави-
ло, в паре со связанными с ними дискретными (масштабирующими)
скейлинг-функциями. Если вейвлеты рассматривать как аналоги по-
лосовых фильтров сигнала, в основном, высокочастотных, при вы-
делении локальных особенностей в сигнале, то скейлинг-функции
вейвлетов представляют собой аналоги низкочастотных фильтров,
которыми из сигнала выделяются составляющие, не прошедшие вей-
влетную фильтрацию.
Представление формы сигнала путем суммирования его грубой
аппроксимации с добавлением детализирующих локальных уточне-
ний на различных временных интервалах основа его кратномас-
штабного анализа. При этом требуется представить сигнал в виде
совокупности его последовательных приближений. Например, при
анализе изображений из некоторой базы данных можно сначала пе-
редать грубую его версию, а затем последовательно ее уточнять.
При сжатии изображений очень часто без визуальной потери качества
можно убирать из изображения незначимые мелкомасштабные детали.
Для реализации таких возможностей обычно используют орто-
гональные вейвлеты. Такие вейвлеты могут быть реализованы на
основании представления некоторого пространства сигналов в виде
системы вложенных подпространств, отличающихся друг от друга
только перемасштабированием независимой переменной.
При кратномасштабной обработке изображений наиболее часто
используется последовательное разложение изображения по столб-
цам и строкам. Такой вид обработки соответствует использованию
разделимых двумерных фильтров, импульсная характеристика ко-
торых есть тензорное произведение импульсных характеристик со-
ответствующих одномерных фильтров. При использовании двухпо-
лосных вейвлет-фильтров частотная плоскость изображения разби-
вается на четыре области.
В этом случае используется последовательное применение преоб-
разования сначала к строкам, а затем к столбцам изображения. При
этом сначала формируются две области (низкочастотная и высоко-
частотная), а затем каждая из них разбивается еще на две области.
Одна из этих областей НН низкочастотная (по строкам и столб-
цам), а три высокочастотные: НВ (низкочастотная по строкам,
высокочастотная по столбцам), ВН (высокочастотная по строкам,
низкочастотная по столбцам), ВВ (высокочастотная по строкам и
столбцам). В случае применения трехполосных, четырехполосных,
пятиполосных и т.д. вейвлет-фильтров частотная плоскость изобра-
жения разбивается на девять, шестнадцать, двадцать пять и т.д. об-
ластей. Иногда сформированные таким образом частотные области
могут дополнительно преобразовываться с использованием вейвлет-
фильтров меньшей разрядности.
Казалось, после публикации Ф. Дж. Хэрриса [1] есть ли смысл
разработки новых структур построения оконных функций?
Данная книга содержит подробную информацию о параметрах и
применении для обработки сигналов с использованием ДПФ класси-
ческих оконных функций, от прямоугольного окна Дирихле и тре-
угольного окна Файера–Бартлетта до окон Хеннинга и Блэкмана–
Хэрриса, а также оконных функций, сконструированных в виде про-
изведений, сумм и сверток различных функций; в виде отдельных
участков известных окон различных авторов от Дольфа–Чебышева
и Кайзера–Бесселя до множества вариантов функций В.Ф. Кравчен-
ко, основанных на использовании финитных атомарных функций.
Для качественного спектрального анализа необходимо выбрать
оконную функцию так, чтобы уровень боковых лепестков ее спектра
был меньше динамического диапазона сигнала, а также определить
размер выборки ДПФ для обеспечения требуемого разрешения по
частоте исходя из частоты дискретизации и свойств выбранной окон-
ной функции. В частности, в книге рассмотрены варианты модерни-
зации спектров оконных функций Дольфа–Чебышева и Барсилона–
Темеша, резко уменьшающие мощности боковых лепестков.
Синтез новых оконных функций, основанный на минимизации
мощности его спектральных компонент вне пределов заданного ин-
тервала частот, позволяет реализовать как известные стандартные
оконные функции, так и ряд новых функций с очень низким уров-
нем боковых лепестков, пригодных для анализа сигналов с весьма
малым уровнем мощности.
Другой эффективный способ расчета оконных функций, осно-
ванный на использовании алгоритма минимизации различий формы
окна и огибающей его нормированного спектра, позволил создать но-
вые оконные структуры, также применяемые для анализа сигналов
с весьма малым уровнем мощности.
CG - когерентное усиление (соherent gain)
FIR - результирующая импульсная характеристика
(finite impulse response)
MIMO - система с многими входами–многими выходами
(multiple input–multiple output)
MPL - максимальные потери преобразования
(maximum processing loss)
PG - усиление преобразования (processing gain)
PL - потери преобразования (processing loss)
PSNR - отношение размаха сигнала к помехе (peak signal
to noise ratio)
SL - паразитная амплитудная модуляция спектра
(scalloping loss)
ААР - адаптивная антенная решетка
АЧХ - амплитудно-частотная характеристика
ДПФ - дискретное преобразование Фурье
КИХ - конечная импульсная характеристика
КНД - коэффициент направленного действия
РЛС - радиолокационная станция
СКО - среднеквадратичное отклонение
УБЛ - уровень боковых лепестков
ФЧХ - фазочастотная характеристика
Предисловие рецензента
Развитие информационных технологий в начале XXI века харак-
теризуется становлением и широким практическим использованием
техники цифровой обработки сигналов одной из самых динамич-
ных и быстроразвивающихся технологий в мире телекоммуникаций
и информатизации общества.
Предлагаемое переработанное и дополненное издание книги "Окон-
ные функции для гармонического анализа сигналов" является
существенным вкладом авторов в развитие науки и перспектив-
ных телекоммуникационных технологий наряду с их монографиями:
¾Цифровые видеоинформационные системы (теория и практика)¿
(Техносфера, 2012, 1007 с.) и"Измерения в видеоинформационных
системах (теория и практика)" (Техносфера, 2015, 780 с.). Данную
книгу можно считать продолжением вышеуказанных фундаменталь-
ных материалов.
Ограничение интервала цифровой обработки сигналов с исполь-
зованием оконных функций связано, с одной стороны, с невозмож-
ностью анализа информации на бесконечном интервале времени, а с
другой обусловлено нестационарностью сигналов.
Применение оконного сглаживания позволяет рассчитывать соот-
ветствующие алгоритмы фильтрации сигналов под любые практиче-
ские задачи для уменьшения эффекта Гиббса, улучшения характе-
ристик фильтров, уменьшающих размывание спектральных компо-
нент, существенного уменьшения разрывности исследуемого сигнала
на границах его периодического продолжения при аппроксимации
параметров коэффициентов передачи данных.
В этом плане оконные функции широко используются при раз-
работке кодирующих систем аудиосигналов и анализе соответствия
их объективного и субъективного восприятия. Банки фильтров ана-
лиза аудиосигналов обеспечивают отображение отсчетов временной
области в виде спектральных составляющих. Перцептуальная (пси-
хоакустическая) модель их обработки обеспечивает оценку фактиче-
ского порога маскирования с временной зависимостью, достигается
возможность варьирования глубины квантования спектральных со-
ставляющих по времени и частоте, реализуется разбиение спектра
сигнала на ряд неравномерных критических полос, определяемых
специальными единицами частоты - "барками".
Оконные функции широко используются при разработке адап-
тивных антенных решеток (ААР), у которых параметры и, в част-
ности, характеристика диаграммы направленности изменяется так,
чтобы были обеспечены близкие к наилучшим условия приема полез-
ного сигнала на фоне постоянно меняющихся помех за счет синтеза
системы с заданной частотной фильтрацией. В качестве критери-
ев адаптации обычно используются либо максимизация отношения
сигнал/шум, либо уменьшение мощности собственных шумов на вы-
ходе ААР. Способы разнесения, используемые в ААР, реализуют
пространственное или поляризационное разнесение.
Применение антенных решеток позволяет увеличить коэффици-
ент направленного действия и, соответственно, усиление антенны,
сузить луч для повышения точности определения угловых координат
источника излучения в навигации и радиолокации, поднять электри-
ческую прочность антенны и увеличить уровень излучаемой (прини-
маемой) мощности путем размещения в каналах решетки независи-
мых усилителей высокочастотной энергии.
С помощью оконных систем реализуются антенные решетки с
электрическим сканированием несколькими лучами (многолучевы-
ми, моноимпульсными и т.д.), работающими на различных частотах
(совмещенными) и имеющими различные характеристики.
Оконные функции также широко применяются при кратномас-
штабной обработке изображений с использованием различного вида
дискретных вейвлет-базисов.
Вейвлеты являются аналогами полосовых фильтров, выделяю-
щих в основном высокочастотные локальные особенности сигналов.
Они обычно сочетаются со скейлинг-функциями, представляющими
собой аналоги низкочастотных фильтров, которыми из сигнала вы-
деляются в отдельный массив составляющие, не прошедшие вейвлет-
ную фильтрацию. Таким образом, форма сигналов представляется
суммированием его грубой аппроксимации с добавлением детализи-
рующих локальных уточнений на различных временных интервалах,
являясь основой его кратномасштабного анализа.
Для реализации таких возможностей обычно используют ортого-
нальные вейвлеты в виде КИХ-фильтров, аналогичных используе-
мым при разработке оконных функций. Такие вейвлеты могут быть
реализованы, основываясь на представлении некоторого простран-
ства сигналов в виде системы вложенных подпространств, отлича-
ющихся друг от друга только перемасштабированием независимой
переменной.
При кратномасштабной обработке изображений наиболее часто
используется последовательное разложение изображения по столб-
цам и строкам. Такой вид обработки соответствует использованию
разделимых двумерных фильтров, импульсная характеристика ко-
Предиторых есть тензорное произведение импульсных характеристик со-
ответствующих одномерных фильтров. При использовании двухпо-
лосных вейвлет-фильтров частотная плоскость изображения разби-
вается на четыре области.
В случае применения трехполосных, четырехполосных, пятипо-
лосных вейвлет-фильтров частотная плоскость изображения разби-
вается соответственно на девять, шестнадцать или двадцать пять об-
ластей. Иногда сформированные таким образом частотные области
могут дополнительно преобразовываться с использованием вейвлет-
фильтров меньшей разрядности.
Предлагаемую книгу можно считать фундаментальным трудом,
в котором собраны практически все имеющиеся на настоящее время
сведения об оконных функциях.
Книга содержит подробную информацию о параметрах и приме-
нении для обработки сигналов с использованием БПФ классических
оконных функций, начиная от прямоугольного окна Дирихле и тре-
угольного окна Файера–Бартлетта до окон Хеннинга и Блэкмана–
Хэрриса, а также оконных функций, сконструированных различ-
ными авторами в виде произведений, сумм и сверток различных
функций или в виде отдельных участков известных окон.
Поскольку все виды оконных функций симметричны относитель-
но середины заданного временного или частотного интервала и огра-
ничены по его длительности, они представимы в виде суммы косину-
соидальных (четных или нечетных) базисных функций с периодами
или полупериодами, кратными этому интервалу.
С использованием этого однозначного представления окон авто-
ры разработали несколько вариантов новых оконных функций и оп-
тимизации их параметров с применением следующих алгоритмов:
– минимизации спектра вне пределов заданного частотного ин-
тервала;
– минимизации различий формы и спектра оконных функций;
– максимизации скорости спада уровней боковых лепестков спект-
ра оконных функций;
– перемножения относительных спектров оконных функций.
Минимизация мощности спектральных составляющих окна вне
пределов заданного нормированного частотного интервала позволя-
ет с увеличением этого интервала от 1 до 7 бин плавно уменьшить
максимальный боковой лепесток по сравнению с основным лепест-
ком от 26 до 188 дБ.
Этот метод позволяет реализовать как известные стандартные
оконные функции, так и ряд новых функций с низким уровнем бо-
ковых лепестков, пригодных для анализа сигналов с весьма малым
уровнем мощности. Приведены подробные таблицы параметров та-
ких оконных функций.
Использование алгоритма минимизации различий формы и спект-
ра оконных функций при числе косинусоидальных составляющих от
1 до 9 позволило создать окна с максимальным боковым лепест-
ком Фурье-образа на 31,5–250 дБ меньше основного лепестка при
различии формы и спектра от 2,5% до менее 10−10%. Даны также
подробные таблицы параметров таких окон.
В ряде случаев интерес представляют оконные функции с макси-
мально возможной скоростью спада боковых лепестков их спектра.
Одним из вариантов таких функций являются степенные косинусо-
идальные функции, спад уровней боковых лепестков которых изме-
няется на 6 дБ при увеличении степени от n до n + 1 и достигает
126 дБ при n = 20. Рассмотрены также алгоритмы формирования
оконных функций путем возведения в степень их спектров, а также
перемножения спектров различных окон.
Особое внимание уделено равноволновым окнам Дольфа–Чебы-
шева и Барсилона–Темеша, используемым для анализа дискретных
сигналов, спектр которых обладает свойством периодичности. Ав-
торами показано, что нормированные спектральные функции этих
окон тождественно определяются конечным числом косинусоидаль-
ных функций. При этом, если используются полиномы Чебышева
четного порядка (n = 2m), оконные функции определяются суммой
m четных косинусоидальных функций, а если оконные функции реа-
лизуются при полиномах Чебышева нечетного порядка (n = 2m−1),
оконные функции воспроизводятся суммой m нечетных косинусо-
идальных функций. На базе этих окон авторами разработаны новые
оконные функции, обладающие стандартным главным лепестком и
существенно подавленными боковыми лепестками. Приведены таб-
лицы коэффициентов разложения и параметров оконных функций,
разработанных с использованием предложенных алгоритмов.
Отдельная глава книги посвящена принципам обработки ограни-
ченных по спектру сигналов с использованием дискретных вейвлет-
преобразований и формированию на их базе оконных функций.
Анализируется структурная схема двухканальной системы суб-
полосного дискретного преобразования сигналов с применением ор-
тогональных КИХ-фильтров с нечетным числом отсчетов цифровой
решетки и линейной (нулевой) ФЧХ, КИХ-фильтров с четным чис-
лом отсчетов цифровой решетки и построению на их базе оконных
функций, а также квадратурно-зеркальных КИХ-фильтров.
Подробно также излагаются принципы построения структур трех-
канальной, четырехканальной и пятиканальной систем субполосного
дискретного прямого и обратного преобразований сигналов и фор-
мированию с их использованием специальных оконных функций.
Важной проблемой при кратномасштабной обработке изображе-
ний (их кодировании и сжатии) является выбор вейвлет-базиса. В об-
щем случае это сложная задача, нерешенная до настоящего вре-
мени. Известен ряд критериев, определяющих качество того или
иного вейвлет-базиса, среди которых наиболее важными являются:
гладкость, точность восстановления изображения, частотная изби-
рательность фильтров. Одним из возможных подходов к решению
этой проблемы является оценка изменений распределения энергии
по высокочастотным компонентам в зависимости от выбранного для
обработки вейвлет-базиса.
Последовательное разложение изображения по столбцам и стро-
кам соответствует использованию разделимых двумерных фильтров.
Достаточно подробно анализируются методы обработки изображе-
ний с применением вейвлет-преобразований и реализации на их ос-
нове кратномасштабных преобразований изображений. Исследованы
варианты двумерного разложения изображений при двухполосном,
трехполосном и комбинированном вейвлет-преобразовании как те-
стовых изображений, так и кадров динамических изображений.
Таким образом, особенностью данной книги является стремле-
ние авторов помочь специалистам телекоммуникационной отрасли
и ее метрологического обеспечения разобраться в сложных пробле-
мах цифровой обработки информации и ее анализа, значимости и
эффективности стандартов кодирования и передачи в современных
информационных системах.
Могу с уверенностью сказать, что в данной книге весьма полно
отражены проблемы, которым она посвящена, излагаются ориги-
нальные решения, способствующие развитию науки и перспектив-
ных технологий применения оконных функций при гармоническом
преобразовании сигналов. В связи с этим книгу следует отнести к
категории монографий и поздравить авторов с реализацией их оче-
редных результатов.
Доктор технических наук, профессор,
лауреат Государственной премии РФ,
заслуженный работник высшей школы РФ
Митрохин В.Н.
Введение
При обработке сигналов с использованием оконных функций про-
водится анализ параметров, определение составляющих этих сигна-
лов, обычно при наличии различного рода помех. При решении этих
задач часто используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ),
обеспечивающее разложение сигнала по базису, состоящему из про-
стых косинусоидальных и синусоидальных функций. В этом случае
предполагается, что сигнал вне интервала его обработки периодиче-
ски повторяется.
Обрабатываемый сигнал на заданном интервале преобразуется
в N эквидистантных отсчетов, а его гармонические оценки вычис-
ляются с помощью ДПФ, определяющих N соответствующих спек-
тральных составляющих. Для получения удовлетворительных ре-
зультатов такого преобразования в случаях, если длительность сиг-
нала не соответствует выбранному интервалу обработки или если
период следования сигнала не кратен этому интервалу, используют-
ся различные оконные функции, реализующие сглаживание сигнала
на границах интервала обработки [1].
Таким образом, оконные функции или окна представляют собой
весовые функции, обеспечивающие уменьшение размывания спек-
тральных компонент, связанного с конечностью интервала наблюдения.
Применение оконной функции приводит к существенному уменьше-
нию разрывности исследуемого сигнала на границах его периодиче-
ского продолжения. С помощью окон обеспечивается приравнивание
или приближение к нулю максимального числа производных анали-
зируемой функции на границах выбранного интервала обработки.
Ограничение области анализа сигналов зачастую обусловлено их
нестационарностью, а также невозможностью исследования на бес-
конечном интервале времени. По этой причине особое внимание уде-
ляется использованию оконных функций при разработке кодирую-
щих систем аудиосигналов и анализа соответствий их объективного
и субъективного восприятия.
Использование оконного сглаживания позволяет рассчитывать
фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры)
под любые практические задачи для уменьшения эффекта Гиббса и
улучшения характеристик фильтра с аппроксимацией комплексного
коэффициента передачи при линейной ФЧХ.
Традиционно в аудиокодерах перцепционного типа используют
банки фильтров, помогающие эффективно кодировать аудиосигналы
и формировать шумы квантования в соответствии с оцениваемой
кривой маскирования.
Банки фильтров анализа аудиосигналов обеспечивают отображе-
ние отсчетов временной области в виде спектральных составляю-
щих. В зависимости от числа спектральных составляющих аудиоко-
дер может также быть кодером поддиапазонов (при их небольшом
количестве, например, до 32) или кодером-преобразователем (при
значительно большем количестве частотных компонент). Перцепци-
онная (психоакустическая) модель реализует оценку фактического
порога маскирования с временной зависимостью. Спектральные ком-
поненты (подполосы или дискреты частотной области) квантуются
и кодируются таким образом, чтобы шум квантования был скрыт в
фактически передаваемом сигнале и неразличим при последующем
декодировании. Это достигается варьированием глубины квантова-
ния спектральных величин по времени и частоте.
При анализе звуковой информации зачастую используются нерав-
нополосные, так называемые косинусно-модулированные банки филь-
тров [2], осуществляющие разбиение спектра на критические полосы,
расстояние между центрами которых в психоакустике определяется
в специальных единицах частоты барках.
Особая область применения оконных функций разработка адап-
тивных антенных решеток (ААР), параметры которых, в частности
характеристика диаграммы направленности, изменяются автомати-
чески для обеспечения наилучших или приближающихся к наилучшим
условиям приема полезного сигнала на фоне постоянно меняющих-
ся воздействий (помех). Выбранные оконные функции применяют-
ся в качестве весового коэффициента к диаграмме направленности
антенной решетки при синтезе системы с заданной частотной филь-
трацией.
В системах, использующих ААР, обеспечивается динамическое
изменение параметров и характеристик антенн в зависимости от внеш-
них или внутренних факторов. Возможность адаптации повышает
качество приема сигнала [3, 4].
В качестве критериев адаптации обычно используются либо мак-
симум отношения сигнал/шум, либо минимум мощности собствен-
ных шумов на выходе ААР. В ААР используется пространственное
или поляризационное разнесение.
В последнее время активно развивается направление MIMO си-
стем связи, в которых ААР используются как на приёмной, так и на
передающей стороне.
Применение антенных решеток обусловлено рядом причин:
– решетка из N элементов позволяет увеличить приблизительно
в N раз коэффициент направленного действия (КНД) и, соот-
ветственно, усиление антенны;
– решетка позволяет сузить луч для повышения точности опре-
деления угловых координат источника излучения в навигации
и радиолокации;
– с помощью решетки удается поднять электрическую прочность
антенны и увеличить уровень излучаемой (принимаемой) мощ-
ности путем размещения в каналах решетки независимых уси-
лителей высокочастотной энергии.
Помехозащищенность системы зависит от уровня боковых ле-
пестков (УБЛ) антенны и возможности подстройки (адаптации) его
по помеховой обстановке. Антенная решетка необходимое звено
для создания такого динамического пространственно-временного
фильтра или просто для уменьшения УБЛ. Одной из важнейших за-
дач современной бортовой радиоэлектроники является создание ком-
плексированной системы, совмещающей несколько функций, напри-
мер, радионавигации, РЛС, связи и т.д. Возникает необходимость со-
здания антенной решетки с электрическим сканированием с несколь-
кими лучами (многолучевой, моноимпульсной и т.д.), работающей на
различных частотах (совмещенной) и имеющей различные характе-
ристики.
И наконец, можно указать широкое использование оконных функ-
ций при кратномасштабной обработке изображений с использовани-
ем различного вида дискретных вейвлет-базисов [5].
При обработке таких сигналов вейвлеты применяются, как прави-
ло, в паре со связанными с ними дискретными (масштабирующими)
скейлинг-функциями. Если вейвлеты рассматривать как аналоги по-
лосовых фильтров сигнала, в основном, высокочастотных, при вы-
делении локальных особенностей в сигнале, то скейлинг-функции
вейвлетов представляют собой аналоги низкочастотных фильтров,
которыми из сигнала выделяются составляющие, не прошедшие вей-
влетную фильтрацию.
Представление формы сигнала путем суммирования его грубой
аппроксимации с добавлением детализирующих локальных уточне-
ний на различных временных интервалах основа его кратномас-
штабного анализа. При этом требуется представить сигнал в виде
совокупности его последовательных приближений. Например, при
анализе изображений из некоторой базы данных можно сначала пе-
редать грубую его версию, а затем последовательно ее уточнять.
При сжатии изображений очень часто без визуальной потери качества
можно убирать из изображения незначимые мелкомасштабные детали.
Для реализации таких возможностей обычно используют орто-
гональные вейвлеты. Такие вейвлеты могут быть реализованы на
основании представления некоторого пространства сигналов в виде
системы вложенных подпространств, отличающихся друг от друга
только перемасштабированием независимой переменной.
При кратномасштабной обработке изображений наиболее часто
используется последовательное разложение изображения по столб-
цам и строкам. Такой вид обработки соответствует использованию
разделимых двумерных фильтров, импульсная характеристика ко-
торых есть тензорное произведение импульсных характеристик со-
ответствующих одномерных фильтров. При использовании двухпо-
лосных вейвлет-фильтров частотная плоскость изображения разби-
вается на четыре области.
В этом случае используется последовательное применение преоб-
разования сначала к строкам, а затем к столбцам изображения. При
этом сначала формируются две области (низкочастотная и высоко-
частотная), а затем каждая из них разбивается еще на две области.
Одна из этих областей НН низкочастотная (по строкам и столб-
цам), а три высокочастотные: НВ (низкочастотная по строкам,
высокочастотная по столбцам), ВН (высокочастотная по строкам,
низкочастотная по столбцам), ВВ (высокочастотная по строкам и
столбцам). В случае применения трехполосных, четырехполосных,
пятиполосных и т.д. вейвлет-фильтров частотная плоскость изобра-
жения разбивается на девять, шестнадцать, двадцать пять и т.д. об-
ластей. Иногда сформированные таким образом частотные области
могут дополнительно преобразовываться с использованием вейвлет-
фильтров меньшей разрядности.
Казалось, после публикации Ф. Дж. Хэрриса [1] есть ли смысл
разработки новых структур построения оконных функций?
Данная книга содержит подробную информацию о параметрах и
применении для обработки сигналов с использованием ДПФ класси-
ческих оконных функций, от прямоугольного окна Дирихле и тре-
угольного окна Файера–Бартлетта до окон Хеннинга и Блэкмана–
Хэрриса, а также оконных функций, сконструированных в виде про-
изведений, сумм и сверток различных функций; в виде отдельных
участков известных окон различных авторов от Дольфа–Чебышева
и Кайзера–Бесселя до множества вариантов функций В.Ф. Кравчен-
ко, основанных на использовании финитных атомарных функций.
Для качественного спектрального анализа необходимо выбрать
оконную функцию так, чтобы уровень боковых лепестков ее спектра
был меньше динамического диапазона сигнала, а также определить
размер выборки ДПФ для обеспечения требуемого разрешения по
частоте исходя из частоты дискретизации и свойств выбранной окон-
ной функции. В частности, в книге рассмотрены варианты модерни-
зации спектров оконных функций Дольфа–Чебышева и Барсилона–
Темеша, резко уменьшающие мощности боковых лепестков.
Синтез новых оконных функций, основанный на минимизации
мощности его спектральных компонент вне пределов заданного ин-
тервала частот, позволяет реализовать как известные стандартные
оконные функции, так и ряд новых функций с очень низким уров-
нем боковых лепестков, пригодных для анализа сигналов с весьма
малым уровнем мощности.
Другой эффективный способ расчета оконных функций, осно-
ванный на использовании алгоритма минимизации различий формы
окна и огибающей его нормированного спектра, позволил создать но-
вые оконные структуры, также применяемые для анализа сигналов
с весьма малым уровнем мощности.